Relações métricas na circunferência - as secantes

Se por um ponto A, conduzirmos duas rectas a cortar uma circunferência, uma delas em B e C e a outra em D e E, verifica-se a igualdade
AB.AC=AD.AE
Pode deslocar A, para tomar diferentes pontos de partida (dentro, sobre e fora da circunferência) e B ou D para tomar diversas secantes a passar por A.


Claro que, para a demonstração, basta constatar a igualdade dos ângulos cada um a cada um dos triângulos ADC e ABE, como a figura bem mostra e saber que em triângulos semelhantes a razão entre lados opostos a ângulos iguais é constante.
Esta demonstração pode ser um bom exercício para os estudantes do 9º ano de escolaridade.

O resultado com A no exterior da circunferência já foi abordado em antigas entradas. Terá interesse específico abordar o recíproco: Se AB.AC=AD.AE , então B,C, D, E são pontos da mesma circunferência?

Outra forma de olhar para a reta como lugar geométrico

Os vértices P dos triângulos ABP, tais que AP²-BP² é constante, estão sobre uma reta. Dito de outro modo, é uma reta o lugar geométrico dos pontos P para os quais é contante a diferença dos quadrados das suas distâncias a dois pontos fixos A e B.




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