Nota sobre a determinação do arco capaz.

Para a resolução de variados problemas, é necessário saber determinar o arco capaz de um dado ângulo B relativamente a um segmento AC.
No fundo, trata-se de encontrar o circuncírculo de um triângulo ABC de que se conhece um lado e o respectivo ângulo oposto.

Com a construção dinâmica que se segue podemos verificar porque é bom o processso usado na entrada anterior, em que determinámos o circuncírculo de um triângulo de que conhecíamos um ângulo e o seu lado oposto.

Na figura, tomamos um ângulo qualquer, ABC, inscrito numa circunferência de centro O que passa por A, B e C. O ângulo AOC é duplo de ABC. O triângulo AOC é isósceles (OA=OC=raio), OAC=ACO= (180-AOC)/2=90-ABC, 90=ABC+OAC. Por isso, se tomarmos PAC=ABC, PAO=90.
Desenhado PAC(=ABC), a perpendicular a PA passa por O, sendo PCA=ABC, a perpendicular a
PC passa por O.

A mediatriz de AC também passa por O.

Usando homotetias (II)

Determinar um triângulo ABC de que se conhece o lado a=BC, o ângulo  e o comprimento da mediana m_b ou BM_b, em que M_b é o ponto médio do lado AC
é um problema de construção que se pode resolver com recurso a homotetias.

Pode seguir a nossa construção, passo a passo:





Podemos determinar o circuncírculo de ABC, determinando o arco capaz do ângulo  sobre BC . O ponto M_b está à distância m_b de B e sobre a circunferência homotética da circunscrita pela homotetia de centro em C e razão 1/2. E claro que A é a imagem de M_b pela homotetia de centro C e razão 2.