Usando reflexões (II)

Construir um triângulo de que se conhecem dois lados BC e AC e a diferença dos ãngulos a eles opostos é um problema que se resolve se nos lembrarmos que a mediatriz do lado AB em falta é eixo de uma reflexão que leva de A para B.
Se designarmos por C' a imagem de C por essa reflexão, temos um trapézio isósceles ACC'B, de diagonais iguais AC'=BC. Também sabemos que, relativamente aos ângulos, C'AC=C'BC=A-B. Conhecido AC, e tomado um A, determinamos C. Conhecido A-B =C'AC e sabendo que é dado BC (=AC'), determinamos C' a partir de A.
Isto mesmo pode seguir, passo a passo, na construção dinâmica que apresentamos a seguir.

Usando meia volta em torno de um ponto médio

Para resolver o problema
“Construir um quadrilátero de que são dados os comprimentos dos lados e o comprimento de um segmento que une os pontos médios de dois dos lados opostos”

Observemos um quadrilátero ABCD de que conhecemos os comprimentos AB, BC, CD, DA dos lados e ainda o comprimento do segmento EF em que E e F são os pontos médios de AB e CD respetivamente. Consideremos a rotação de meia volta em torno de F (ou reflexão relativamente a F) que transforma [ABCD] em [B'A'DC], como mostra a figura ao lado. O ponto E médio de AB é transformado em E' ponto médio de A'B' sendo F'= F ponto médio de CD. Os pontos médios de AB', A'B, e EE' são colineares sobre uma reta paralela a AB (MF), sendo MF=BE=AE=AB/2. F é intersecçao de duas circunferências: (C, CD/2).(M, AB/2). Podemos, portanto, seguir os seguintes passos para a resolução do problema: Construimos o triângulo BCA’ cujos lados são conhecidos: BC é dado, CA’ = AD, BA’ = 2 EF. O ponto F está a uma distância EB do ponto M médio do segmento BA’ e a uma distância CD/2 do ponto C; é. pois, a intersecção de duas circunferências. Obtido F, temos o vértice D. Sobre a paralela a CA’ por D, tomamos um ponto cuja distância a D seja igual a AD. Temos assim o quadrilátero construído de acordo com os dados.

A construção que se segue, pode ser visitada passo a passo. No caso desenhado agora (na reconstrução) começámos pelo ponto A (livre no plano, que pode deslocar...) e um ponto D livre sobre a circunferência (A,DA) de centro em A e raio AD. De resto, o processo é o mesmo do acima descrito: B' é (A, 2EF).(D,BC) já que B'D= BC e ....