Das medianas ao triângulo, com translações

No seu Curso de Geometria Métrica para engenheiros, existente na nossa Escola José Estêvão, Puig Adam apresenta alguns exercícios como exemplos de aplicação de transformações geométricas.
Um deles consiste em construir um triângulo de que se conhecem as medianas.
Pode ser um problema simples. Ou não.

Relativamente a esse exercício (que nos lembramos de ter tentado resolver noutras circunstâncias), juntamos aquilo que lemos ou vimos como sugestões do autor.
Da construção seguinte recomendamos que siga os passos pela ordem assinalada, procurando verificar todas as propriedades e relações dos elementos dos triângulos HIJ e AKH com os elementos do triãngulo ABC.



O triângulo HIJ, que é mostrado no primeiro passo, tem os lados paralelos aos lados de ABC (paralelas tiradas por cada vértice oposto a cada lado) com comprimento duplo, sendo tal que os vértices do primeiro ABC são pontos médios dos lados de HIJ e as medianas deste (HA, IB e JC) contêm as medianas de ABC (respectivamente AD, BE e CF) sendo AH=2AD, IB=2BE e JC=2CF.
O segundo passo mostra-nos o triângulo AKH cujos lados são os dobros das medianas de ABC (AH, IB, e JC, como pode ver-se facilmente - lados opostos de paralelogramos: AH , AK//BI e KH//CJ). Este triângulo tem o seu baricentro em B e é, do mesmo modo, imediato verificar que AB, BK e BH têm comprimentos iguais aos lados AB, BC e AC.
Fica, deste modo, claro que um triângulo cujos lados sejam iguais a dobros das medianas dadas de um triângulo ABC, fornecem os comprimentos dos lados de ABC.

Verá que isso resolve o problema seguinte:

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Determinar um triângulo ABC de que se conhecem as medianas

Pode clicar sobre a área de trabalho seguinte para tentar determinar o triângulo de vértice A que tem m₁,m₂ e m₃. Pode depois comparar com a nossa proposta de solução. Ou pode ver os dois passos da nossa solução à luz dos resultados vistos com a construção anterior.





A nossa proposta de resolução do exercício proposto, consiste na construção do triângulo AKH com lados iguais aos dobros das medianas dadas e determinando B como centro de garvidade de AKH e C como quarto vértice do paralelogramo ABKH. Só isso.

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Tente depois o seguinte
Construir um triãngulo de que se conhecem dois lados e a mediana que passa pela intersecção dos dois.
também proposto por Puig Adam.

Puig Adam - método das transformações para resolução de problemas

Nas últimas entradas seguimos a terminologia de Lucien Godeaux. De forma diferente, Puig Adam, no seu Curso de Gometria Métrica já aqui referido várias vezes, chama geometria métrica ao que Godeaux classifica como geometria euclidiana. Escreve Puig Adam que "as propriedades da geometria métrica são invariantes para os grupos dos movimentos (deslocamentos para Godeaux) e das semelhanças".
Refere que as propriedades "da igualdade entre elementos, entre suas somas ou diferenças, entre as suas razões, entre as suas medidas e entre produtos de medidas, etc são as que permanecem invariantes ao aplicar à figura qualquer movimento ou ao transformar a figura por homotetia ou semelhança"
Refere ainda que " ao estudar a inversão ...também se ocupou preferencialmente das figuras e propriedades que relativamente a ela se mantêm invariantes".
Para a seguir escrever que" esta ideia de grupo de transformações e de propriedade invariante , é que permitiu ao geómetra alemão Klein sistematizar e definir elegantemente as diferentes geometrias como conjuntos de propriedades invariantes das figuras relativamente a cada grupo de transformações característico de cada uma delas, acrescentando que " esta ideia não só se reveste de transcendente importância teórica" como " permitiu descobrir analogias entre grandes grupos de problemas que apareciam sem qualquer conexão na geometria clássica grega e aos quais hoje se podem aplicar-se métodos gerais usando transformações que... ajudam o engenho dos solucionadores".

E esclarece a ideia geral para a aplicação dos novos métodos: " Obervar se é mais simples resolver o problema transformando a figura, ou parte dela, por translação, rotação, reflexão, homotetia, semelhança ou inversão, constrói-se sobre a figura transformada e obtido o resultado, aplica-se a transformação inversa para voltar à figura primitiva. A classe das relações e de dados que definem a figura sugerirá, com frequência, o género de transformação conveniente para que, deixando invariantes estas relações, transformará os dados ou a figura em outra de mais fácil determinação "

Com esta entrada, mostramos que não são determinantes as classificações e que elas variam com o tempo e os autores. O que é importante é a compreensão do que sejam as transformações geométricas e as propriedades invariantes das figuras para cada uma ou algum conjunto delas e compostas. À maneira de Puig Adam, achamos que os exemplos de exercícios são mais esclarecedores que as exposições genéricas que se possam dar. Já apresentámos alguns exemplos em anteriores entradas.

Tanto Puig Adam como Godeaux e a generalidade dos autores utilizaram a palavra simetria para se referirem à transformação geométrica agora nomeada como reflexão.