[AdAM]
Tal como aconteceu para a mediatriz, podemos verificar que a bissectriz de um ângulo é o lugar geométrico (de todos) os pontos equidistantes dos seus lados. Para isso, temos de ter presente que chamamos distância de um ponto P a uma recta r ao comprimento do segmento da perpendicular a r tirada por P, de extremos P e o pé da perpendicular em r (projecção ortogonal de P sobre r) e demonstrar que os pontos da bissectriz estão a igual distância dos dois lados e que se um ponto qualquer está a igual distância dos lados, então está sobre a bissectriz.
Teorema directo: Se D é um ponto da bissectriz de BÂC, então a distância de D a AB é igual à distância de D a AC.
[AdAM]
Demonstração: Se D é um ponto da bissectriz, DÂB=DÂC. Se E é uma projecção ortogonal de D sobre AB e F é a projecção ortogonal de D sobre AC, são iguais os ângulos DÊA e DFA (DEA=DFA=1 recto). Assim, os triângulos ADE e ADF são congruentes por terem os ângulos iguais, cada um a cada um, e terem um lado comum AD. Como em triângulos iguais a ângulos iguais se opõem a ângulos iguais, DE=DF por serem opostos aos ângulos que resultaram da bissecção de BÂC
Teorema recíproco: Se a distância de P a AB é igual à distância de P a AC, então P está sobre a bissectriz de BÂC.
[AdAM]
Demonstração: Precisamos de provar que se P tem a qualidade de ser equidistante de AB e AC, então PÂB=PAC. Tomemos as projecções ortogonais de P sobre AB e AC, respectivamente R e S, e consideremos os triângulos rectãngulos (em R e em S) APR e APS que têm AP como hipotenusa comum e um cateto de um igual ao cateto do outro PR=PS. Os ângulos que se opõem a estes catetos iguais, são iguais. Ou seja, PAR=PAS.
| Esta entrada lembra-nos que, ainda sem conhecer o Teorema de Pitágoras, pode ser simples (e útil ao desenvolvimento do raciocíno dedutivo) fazer, a partir dos critérios de congruência de triângulos em geral, a demonstração de critérios particulares para a congruência de triângulos rectângulos. De facto, se colarmos por um cateto comum PR (no caso da ilustração dinâmica), quaisquer dois triângulos rectângulos com a mesma hipotenusa, obtemos 3 pontos colineares (A, R e Q) e o triângulo isósceles APQ de que PR é a altura e o eixo de simetria que divide o triângulo APQ em dois triângulos iguais. |
[AdAM] |
A ilustração dinâmica, que se segue, serve para ver (não para demonstrar) que os pontos que não estão na bissectriz não são equidistantes dos lados do ângulo (Teorema contrário).
[AdAM]
