Sobre as elipses de Steiner

A elipse de Steiner circunscrita ao triângulo ABC é a elipse circunscrita de área mínima. Também chamamos elipse de Steiner inscrita à elipse inscrita de área máxima. Ambas são centradas em G e os pontos de tangência da elipse inscrita são os pontos médios dos lados do triângulo.



[A.A.F.]

Ponto de Steiner e recta de Euler

Sejam P e Q os pontos em que a recta de Euler do triângulo ABC intersecta o circuncírculo; H é o ortocentro e Re o retrocentro (conjugado isotómico de H); St é o ponto de Steiner. As três rectas StP, StQ, HRe formam um triângulo rectângulo com o ângulo recto em St.
A elipse circunscrita ao triângulo ABC contém também os vértices do triângulo StMN.
É a chamada "elipse circunscrita de Steiner".
Note-se que os simétricos A', B', C' respectivamente de A, B, C são também pontos da elipse; ou seja, o centro da elipse é o baricentro G. De entre as elipses circunscritas, esta goza da propriedade de ter a área mínima.


[A.A.F.]