A recta de Simson a partir do ponto de Steiner

No triângulo ABC tomemos o ponto St e tracemos a sua recta de Simson (definida pelas projecções de de St sobre os lados do triângulo). Determinemos os pontos Br₁ e Br₂ de Brocard e a recta por eles definida. Verifica-se que as rectas são perpendiculares. Logo a recta de Simson de St e a recta de Brocard (definida por O e Le) são paralelas.


[A.A.F.]

Ponto de Steiner e Recta de Lemoine

No triângulo ABC tomemos o ponto Le de Lemoine e determinemos a sua polar trilinear rLe (a verde cheio). Traçando as três isogonais da recta de Lemoine (uma por vértice do triângulo) verifica-se que elas se intersectam no ponto de Steiner que é o mesmo que dizer que o ponto isogonal do ponto do infinito da recta de Lemoine é o ponto de Steiner.
Traçando uma paralela (a verde tracejado) à recta de Lemoine por qualquer um dos vértices – seja, por exemplo, o vértice A - a sua isogonal - simétrica dessa paralela em relação à bissectriz (amarelo tracejado) - é uma recta (a verde tracejado) que passa pelo ponto St de Steiner.



[A.A.F.]