Pontos de Feuerbach e Euler

O ponto de Feuerbach é o ponto de reflexão de Euler da recta OI relativamente ao triângulo dos pontos de tangência do incirculo com o triângulo [ABC].
A recta OI é a recta de Euler do triângulo dos pontos de tangência do incírculo com o triângulo [ABC].


[M.I.H.B.S.]

Ponto de Euler

A recta e de Euler pode reflectir-se em cada um dos lados a=BC, b=CA e c=AB sendo as imagens de e por essa reflexão as retas e_a, e_b e e_c respectivamente. E estas têm um ponto comum designado por E - ponto de Euler.

Esta construção é, em certa medida e em parte, repetida na construção que se segue:

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No triângulo [ABC], tomemos os centros A', B' e C' dos triângulos equiláteros construídos sobre os seus lados. As quatro circunferências definidas pelos ternos de pontos ABC, AB'C', BC'A' e CA'B' intersectam-se no ponto E de Euler.

Nota: As etapas 2 a 5 respondem ao enunciado acima. A etapa 6 chama-nos à atenção para o seguinte:
Se é verdade que as circunferências ABC, AB'C', BC'A' e CA'B' têm um ponto comum, então,
também têm um ponto comum as circunferências A'B'C', A'BC, B'CA e C'AB que é o ponto E' = F de Feuerbach.