A afinidade generaliza Napoleão.

Generalização do Teorema de Napoleão
Será que os baricentros de n-ágonos regulares construídos (interna ou externamente) sobre cada um dos lados de um dado n-ágono formam por sua vez um outro nágono regular?

Teorema de Thébault
Thébault demonstrou que para um paralelogramo os baricentros dos quadrados construídos (interna ou externamente) sobre os seus lados formam sempre um outro quadrado .

Ora, o triângulo e o paralelogramo são exemplos de polígonos regulares afins, isto é, polígonos que são sempre imagem por uma transformação afim de um triângulo equilátero e de um quadrado, respectivamente.

Teorema de Barlotti
Em 1955, Barlotti, demonstrou que: Dado um n-ágono qualquer, se este for imagem por uma transformação afim de um n-ágono regular, então o n-ágono formado pelos baricentros dos n-ágonos regulares construídos (interna ou externamente) sobre os seus lados é um n-ágono regular



[A.A.F.]

É interessante mover o ponto A’ mudando a direcção da afinidade e observar quando A’,B’,C’ e D’ são colineares ou quando estes coincidem dois a dois.

Fermat?

As rectas que unem os vértices livres dos triângulos construídos externamente ao vértice oposto do triângulo [ABC] intersectam-se no mesmo ponto – primeiro Ponto de Fermat (F). Este ponto é também o ponto de intersecção dos circuncírculos dos triângulos equiláteros.



[A.A.F.]
[Na construção acima, pode movimentar os pontos A , B e C e confirmar, para vários triângulos, a propriedade enunciada]
O primeiro ponto de Fermat de um triângulo é o ponto cuja soma das distâncias aos vértices é mínima.
Fermat desafiou Torricelli a encontrar um ponto tal que a soma das distâncias aos vértices fosse mínima e este passou o desafio a V. Viviani.