Fermat?

As rectas que unem os vértices livres dos triângulos construídos externamente ao vértice oposto do triângulo [ABC] intersectam-se no mesmo ponto – primeiro Ponto de Fermat (F). Este ponto é também o ponto de intersecção dos circuncírculos dos triângulos equiláteros.



[A.A.F.]
[Na construção acima, pode movimentar os pontos A , B e C e confirmar, para vários triângulos, a propriedade enunciada]
O primeiro ponto de Fermat de um triângulo é o ponto cuja soma das distâncias aos vértices é mínima.
Fermat desafiou Torricelli a encontrar um ponto tal que a soma das distâncias aos vértices fosse mínima e este passou o desafio a V. Viviani.

Napoleão?

Tracemos: - o triângulo equilátero de base AB, centro Z e o arco de corda AB e centro Z;
- o triângulo equilátero de base BC, centro X e o arco de corda BC e centro X;
- o triângulo equilátero de base CA, centro Y e o arco de corda CA e centro Y.

Tomemos um ponto qualquer D sobre o arco de corda BC e um segmento DE que contenha o vértice C do triângulo dado.
Verifica-se que:
- EA e DB se instersetam num ponto F do arco AB e centro Z;
- o triângulo [DEF] é equilátero.




[A.A.F]