Teorema de Desargues e homologia

No seu Curso de Geometria Projectiva, Jayme Rios de Sousa, enuncia o Teorema de Desargues: “Se dois triângulos [ABC] e [A’B’C’], sem elementos comuns, estiverem referidos entre si de modo que as rectas AA’, BB’, CC’ têm um ponto comum O, então as rectas que contém os lados AB e A’B’, AC e A’C’, BC e B’C’ intersectam-se em pontos colineares.”

E reciprocamente.
Claro que estes triângulos são homológicos: o ponto comum é o centro de homologia e a recta sobre a qual se intersectam os lados correspondentes, é o eixo e de homologia.



[A.A.M.]

Paralelismo e homólogos de pontos no infinito

Há duas rectas que desempenham um papel importante em questões de homologia: as rectas limite, l e l’:
- a recta limite l é a recta original que tem como imagem a recta do infinito (assim, se as rectas r e s se intersectam num ponto de l, as suas imagens r’ e s’ serão paralelas) ;
- a recta limite l’ é a imagem da recta do infinito (assim, se as rectas r e s são paralelas, as suas imagens r’ e s’ intersectam-se sobre l’).
As rectas limite, como rectas homólogas que são, intersectam-se num ponto do eixo que, atendendo à definição, é ponto impróprio; logo as rectas limite são paralelas ao eixo.

Vejamos como determinar as rectas limite, supondo conhecidos o centro, o eixo e um par de pontos homólogos (A, A’); tomemos um ponto E sobre o eixo e tracemos as rectas AE e A’E;
- tiremos por O uma paralela à recta A’E - a sua intersecção P com a recta AE’ é um ponto de l ;
- tiremos por O uma paralela à recta AE - a sua intersecção Q com a recta AE é um ponto de l’.
Notemos que [OPEQ] é um paralelogramo; então OP = EQ e concluímos:
a distância do centro à recta limite l é igual à distância do eixo à recta limite l’.