Pitágoras - sem recuperação, porque não depende de nós

Há não muito tempo apresentámos diversas decomposições e recomposições (com triângulos e rectângulos).
No âmbito da Escola de Educação Complementar do Departamento de Matemática da Universidade de Aveiro, apareceram algumas propostas de trabalho em que se propunha fazer uma moldura considerando uma determinada decomposição de um quadrado. Como resultado, obtinha-se um novo quadrado. Sempre nos pareceu que ali estaria uma nova demonstração para o Teorema de Pitágoras. Assim confirmámos em pequenas incursões exploratórias. Despertou-nos especial curiosidade, o trabalho de Herman Vogel, da Universidade Técnica de Munique, que apresenta vários exemplos de construções interactivas, cada uma delas recorrendo aos diversos programas (software) de geometria dinâmica europeus. Recomendamos esse trabalho a quem quiser comparar as potencialidades dos diversos programas - Cinderella, CaR (ZuL), Geogebra, Cabri, Euklid-DynaGeo e GeoNExT




Mesmo contando com ajudas (que agradecemos), para nós, não foi nada fácil a realização desta animação. Aqui fica. Esperamos que gostem e seja útil.

Cadeia de Pappus

Continuemos então com as tangências e a tentar dar respostas construtivas às dúvidas que nos têm sido postas. Agradecemos ao André Filipe Oliveira as dúvidas e interrogações que nos obrigam a verificar que construções sabemos fazer e quais são possíveis com a régua e compasso do ZuL ou do CaR.metal. O que formos descobrindo, aqui publicamos. Se subsistirem dúvidas, não hesitem em contactar-nos.

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Ora aqui ficam definições e resultados da Cadeia de Pappus acompanhados das respectivas construções interactivas:

Dadas duas circunferências de centros F1 e F2, chama-se “cadeia de Pappus” ao conjunto das circunferências tangentes simultaneamente às circunferências dadas. Demonstra-se que o conjunto dos centros das circunferências de Pappus define uma elipse de focos F1 e F2 e eixo maior [AB].


Consideremos um raio vector que intersecta o círculo maior em P e o círculo menor em Q. As paralelas aos eixos por P e Q determinam um ponto X da elipse, centro de uma circunferência de Pappus. Pode deslocar o ponto P.




Num arbelo, a cadeia de Pappus inicia-se com o círculo tangente às três semicircunferências.