As últimas entradas referem-se praticamente todas à divisão de triângulos em triângulos equivalentes. A maior parte dos exercícios propostos resolvem-se com recurso a pontos médios e a medianas. O ponto médio de um segmento ou de uma barra homogénea é o seu ponto de equilíbrio. Um triângulo homogéneo é dividido em duas partes equivalentes por qualquer das suas medianas... O ponto de encontro das medianas de um triângulo homogéneo é um seu ponto de equilíbrio.
Apresentamos, de seguida, a construção geométrica relativa ao baricentro (G, mA+mB) de dois pontos (A, mA) e (B, mB). Quando mA=mB, G é o ponto médio de [AB]. As distâncias GA e GB são inversamente proporcionais a mA e mB. Na construção que se segue pode fazer variar os valores mA e mB, bem como as direcções das rectas auxiliares da aplicação do teorema de Thales.
Mariana Sacchetti recomenda vivamente a leitura das notas de Nestor Aguilera El baricentro y la divisón en dos partes de igual área.
25.11.07
18.11.07
De um "puzzle" a um "teorema"
Na entrada Dividir para fazer um tangram, escrevemos:
Daniel Scher termina o seu artigo A Triangle Divided: Investigating Equal Areas já referido, com uma proposta de puzzle (tangram?) feita sobre um rectângulo equivalente a um triângulo com as peças coloridas (pela divisão em quatro triângulos equivalentes).
Na altura, internamente, foram levantadas algumas dúvidas sobre o interesse dessa entrada, até porque nem tinha qualquer animação. O publicador:-) estava mesmo convencido que já tinha visto essa animação (da transformação do triângulo num rectângulo equivalente) no Atractor e procurou ligações. Por enquanto, e no pouco tempo que a esse assunto dedicou, ainda não encontrou. Mas já tinha tropeçado muitas vezes com o assunto (ou variante) em vários livros. E, antes de mudar de assunto, aproveita para referir uma ligação.
Como se pode ver nas figuras abaixo, feitas a partir da última divisão em 4 sugerida por Paulo Correia, de Alcácer do Sal, há um triângulo e um rectângulo equivalentes e compostos por um mesmo número de peças não só equivalentes, como congruentes (geometricamente iguais), disjuntas, sem sobreposições,....
No seu livro Matemática e Ensino, publicado, em Portugal, pela Gradiva(colecção Temas de Matemática), Elon Lages Lima define como polígonos equidecomponíveis os que admitem decomposições nas condições referidas. Na deambulação pelas divisões, estivemos sempre a trabalhar com polígonos com a mesma área. Elon Lages Lima afirma o óbvio de dois polígonos equidecomponíveis terem a mesma área, para chamar a atenção para a não evidência do recíproco
Teorema de Bolyai: Dois polígonos com a mesma área são equidecomponíveis.
Para aguçar a curiosidade, citamos Elon Lages Lima: ...Este teorema foi demonstrado em 1832 por F. Bolyai e, independentemente, em 1833 por P. Gerwien. F. Bolyai era o pai do famoso matemático húngaro Janos Bolyai, que descobriu a Geometria Hiperbólica (que também foi descoberta por Lobatshevski e Gauss). Gerwien era um matemático amador alemão.
O teorema de F. Bolyai é um facto geometricamente interessante, cuja prova se baseia em argumentos bem simples. ...
Valerá a pena publicar as construções exemplares relativas aos argumentos bem simples? Talvez.
Daniel Scher termina o seu artigo A Triangle Divided: Investigating Equal Areas já referido, com uma proposta de puzzle (tangram?) feita sobre um rectângulo equivalente a um triângulo com as peças coloridas (pela divisão em quatro triângulos equivalentes).
Na altura, internamente, foram levantadas algumas dúvidas sobre o interesse dessa entrada, até porque nem tinha qualquer animação. O publicador:-) estava mesmo convencido que já tinha visto essa animação (da transformação do triângulo num rectângulo equivalente) no Atractor e procurou ligações. Por enquanto, e no pouco tempo que a esse assunto dedicou, ainda não encontrou. Mas já tinha tropeçado muitas vezes com o assunto (ou variante) em vários livros. E, antes de mudar de assunto, aproveita para referir uma ligação.
Como se pode ver nas figuras abaixo, feitas a partir da última divisão em 4 sugerida por Paulo Correia, de Alcácer do Sal, há um triângulo e um rectângulo equivalentes e compostos por um mesmo número de peças não só equivalentes, como congruentes (geometricamente iguais), disjuntas, sem sobreposições,....
No seu livro Matemática e Ensino, publicado, em Portugal, pela Gradiva(colecção Temas de Matemática), Elon Lages Lima define como polígonos equidecomponíveis os que admitem decomposições nas condições referidas. Na deambulação pelas divisões, estivemos sempre a trabalhar com polígonos com a mesma área. Elon Lages Lima afirma o óbvio de dois polígonos equidecomponíveis terem a mesma área, para chamar a atenção para a não evidência do recíproco
Teorema de Bolyai: Dois polígonos com a mesma área são equidecomponíveis.
Para aguçar a curiosidade, citamos Elon Lages Lima: ...Este teorema foi demonstrado em 1832 por F. Bolyai e, independentemente, em 1833 por P. Gerwien. F. Bolyai era o pai do famoso matemático húngaro Janos Bolyai, que descobriu a Geometria Hiperbólica (que também foi descoberta por Lobatshevski e Gauss). Gerwien era um matemático amador alemão.
O teorema de F. Bolyai é um facto geometricamente interessante, cuja prova se baseia em argumentos bem simples. ...
Valerá a pena publicar as construções exemplares relativas aos argumentos bem simples? Talvez.
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