A razão positiva

Se a razão dupla anarmónica (ABCD) = k for positiva, C e D não separam A e B, que é o mesmo que dizer que C e D ou estão ambos entre A e B ou ambos fora do segmento [AB].
Para determinar um quaterno anarmónico de razão dupla positiva, por exemplo, (ABCD)=1/4, basta fazer uma construção semelhante à que fizemos no artigo anterior, mas em que tomamos sobre a recta tirada por A dois segmentos 4 para 1 num dos semiplanos definidos pela recta dos pontos AB.
Assim:


[A.A.M.]
Na nossa construção pode fazer variar a recta m (AMN) e os pontos A, B e C.

Razão anarmónica

Até agora temos vindo a considerar casos de divisão e separação harmónica em que a razão dupla de quatro pontos colineares (ABCD) =(|AC|/ |BC|) / (|AD|/ |BD|)= 1, (ou -1, considerando os vectores).

Podemos considerar casos de divisão e separação não harmónica em que a razão dupla (ABCD)=k diferente de -1. Dizemos que tal razão é anarmónica. Interessante é saber determinar o quarto anarmónico, isto é, determinar sobre uma recta r, o ponto D assim relacionado com A, B e C: |AC|/|BC| = k. (|AD|/|BD|). Para o exemplo de construção que se segue, consideramos k=2 (k=-2, se considerássemos os vectores).



[A.A.M.]

Por A fazemos passar uma recta m qualquer em que marcamos dois segmentos na razão 2 para 1. Com o extremo do segmento 2 (de m) e o ponto C definimos uma recta n; n intersecta a recta p paralela a m tirada por B. Unindo esta intersecção (de m com p) ao extremo do segmento 1 de m, definimos uma recta que intersecta r no ponto D.

Nota: No caso da nossa construção, não haverá ponto próprio D, correspondendo a um ponto C que seja tal que |AC|=2.|BC|.