Razão anarmónica

Até agora temos vindo a considerar casos de divisão e separação harmónica em que a razão dupla de quatro pontos colineares (ABCD) =(|AC|/ |BC|) / (|AD|/ |BD|)= 1, (ou -1, considerando os vectores).

Podemos considerar casos de divisão e separação não harmónica em que a razão dupla (ABCD)=k diferente de -1. Dizemos que tal razão é anarmónica. Interessante é saber determinar o quarto anarmónico, isto é, determinar sobre uma recta r, o ponto D assim relacionado com A, B e C: |AC|/|BC| = k. (|AD|/|BD|). Para o exemplo de construção que se segue, consideramos k=2 (k=-2, se considerássemos os vectores).



[A.A.M.]

Por A fazemos passar uma recta m qualquer em que marcamos dois segmentos na razão 2 para 1. Com o extremo do segmento 2 (de m) e o ponto C definimos uma recta n; n intersecta a recta p paralela a m tirada por B. Unindo esta intersecção (de m com p) ao extremo do segmento 1 de m, definimos uma recta que intersecta r no ponto D.

Nota: No caso da nossa construção, não haverá ponto próprio D, correspondendo a um ponto C que seja tal que |AC|=2.|BC|.

Feixes harmónicos

Se tivermos quatro pontos - A, B, C e D - colineares e tais que (ABCD)=-1, dizemos que um feixe de rectas paralelas ou concorrentes que passem por eles é um feixe harmónico e convencionamos escrever O(ABCD)= (abcd)=-1.


[AdAM]
Se um recta corta um feixe num quarteto harmónico convencionamos chamá-lo de feixe harmónico porque qualquer outra recta que corta o feixe o faz segundo um quarteto harmónico (a harmonia é invariante por projecção central ou paralela). Um exemplo simples e interessante de feixe harmónico é constituído por dois lados de um triângulo qualquer e as bissectrizes internas e externas do ângulo formado por esses dois lados.