Harmonia que se projecta

Se na recta r, C e D separam harmonicamente os pontos A e B, as imagens por projecção paralela sobre s, C' e D' separam harmonicamente os pontos A' e B'.



[A.dA.M.]
Na construção, pode deslocar os pontos A,B e C sobre r, bem como A' sobre s e mudando de uma para outra projecção paralela. Pode ainda verificar factos de que as harmonias se matem para cada ABC-->D depende de Q e A'B'C'-->D' não depende de T e variando as posições de P pode obter prova de que não depende do destino da projecção paralela.

Quadrilátero completo

Chamamos quadrilátero completo à figura formada por 4 rectas (lados) que se cortam duas a duas, de tal modo que haja 6 intersecções (vértices). Às 3 rectas definidas por vértices não consecutivos, damos o nome de diagonais e ao triângulo por elas formado, damos o nome de triângulo diagonal.


[A.A.M]
E, como é óbvio, cada diagonal é dividida harmonicamente pelas outras duas.
Usando a liberdade de C, D, E pode, sem mudar as posições de A e B, pode deslocar P até que coincida com a posição do ponto médio de [AB], e verá que CE fica paralelo a AB e deixamos de ter o triângulo diagonal (Q está no infinito ou, se quisermos, é um ponto impróprio).
Dito de outro modo, não falamos do conjugado harmónico de P relativamente a A e a B, se P for ponto médio de [AB] ( se fosse |AP|=|BP|, para haver conjugado harmónico de P relativamente a A e B, teria de haver em AB um ponto Q fora de [AB] tal que |AQ|=|BQ|).