Elipse: Tangente por um ponto exterior

No 2º volume da GEOMETRIA MÉTRICA, já referenciada neste lugar algumas vezes, Puig Adam apresenta a determinação da tangente por um ponto, P, exterior a uma elipse de que se conhecem os focos e o eixo maior. Esta construção não exige a determinação de qualquer outro elemento da elipse. É elegante e simples.
Com centro num dos focos, por exemplo F₁, trace-se a circunferência directora (ou focal). A circunferência centrada em P e que passa por F₂ corta a anterior em dois pontos S₁ e S₂. As tangentes à eipse tiradas por P são as mediatrizes dos segmentos [ F₂ S₁] e [ F₂ S₂]. Para além do mais os pontos de trangência ficam determinados como intersecções dessas mediatrizes (tangentes) com os segmentos [ F₁ S₁] e [ F₁ S₂].

Elipse: Tangentes

1. Tangente num ponto da elipse

Obtemos a tangente no ponto P da elipse pelo processo já referido para a parábola: a tangente no ponto P é a bissectriz externa do ângulo F₁PF₂.




2. Tangente por um ponto exterior à elipse

Traçam-se duas circunferências: uma de centro P e raio PF₂; outra de centro F₂ e raio 2a = [V₁V₂]. Sejam R e s os seus pontos de intersecção; as rectas F₁R e F₁S intersectam a elipse nos pontos de tangência.



3. Tangentes paralelas a uma direcção r

Traçamos uma recta r' paralela a r; sejam A e B os seus pontos de intersecção com a elipse. A recta definida pelo centro O e pelo ponto M (ponto médio do segmento) determina sobre a elipse os pontos de tangência



(Fonte: "Desenho Técnico" de Luís Veiga Cunha)

Note-se que apenas conseguimos ter os pontos de tangência se tivermos a elipse desenhada. Será possível determinar os pontos de tangência sem ter a elipse?

4. Uma habilidade especial: obter os pontos de tangência sem ter a elipse!

Recordemos, antes de mais, que:
- se chama excentricidade ao quociente e = c/a;
- as directrizes são rectas perpendiculares ao eixo maior e cujas abcissas são x = - a/e e x = a/e; a razão das distâncias de cada ponto da elipse a um foco e à directriz correspondente é constante e igual à excentricidade e.

Uma elipse está definida pelo ponto F, pela excentricidade e e pela directriz d. Determinar a(s) tangente(s) à elipse tirada(s) pelo ponto P, exterior, e o(s) respectivo(s) ponto(s) de contacto.

Seja C o pé da perpendicular baixada de P para d. Tracemos a circunferência de centro P e raio PC.e. Por F tracemos uma tangente a essa circunferência que intersecta d em D: a recta DP é a tangente t à elipse. Por F tiremos uma perpendicular a FD: o pé da perpendicular é o ponto T de tangência.

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Claro que, sendo o ponto P exterior à elipse, haverá outra tangente à circunferência tirada por F, logo haverá outra solução,

(Fonte "Géometrie" , Th Caronnet)