Outro problema triangular

A Mariana propôs um resultado sobre triângulos e nós ficámos sem saber muito bem o que fazer dele. Sem saber como falar dele sem ser a falar por falar. Mas aqui fica o desafio para pensar.
Determinar o vértice C do triângulo [ABC] de que se conhecem os lados a e c e os raios ra e rb dos círculos ex-inscritos nos ângulos A e B
Clicando sobre o enunciado, tem acesso ao respectivo exercício interactivo.

O que é simples e interessante disto é o que vou propor aos meus alunos do 8º ano na forma do Desafio que saiu no Público, pela mão do J. P. Viana, num dos últimos meses de 1998. Que desafio?

A Mariana garante (e com razão!) que pode dispensar um dos dados - o lado a, por exemplo. Experimente realizar o exercício interactivo sem precisar do lado a.

Animação com triângulo e hipérbole

Até agora não tínhamos conseguido fazer uma animação razoável para mostrar a ligação entre a hipérbole equilátera dos exincentros de um triângulo com a circunferência a ele circunscrita. Os olhos da Mariana que viram a relação entre triângulos dos exincentros e o triãngulo órtico deram conta do recado que aqui entregamos. Clique para ver a animação.
Toda a hipérbole equilátera que passa pelos exincentros I_a, I_b, I_c e pelo incentro I de um triângulo [ABC] tem o centro O_h sobre o círculo circunscrito ao triângulo.