Tangente a um círculo - só com régua

Mariana Sacchetti resolveu o problema de tirar por um ponto P as tangentes a um círculo dado (tal como tinha sido proposto no Geometriagon , só com régua). Ao tentar recriar a sua construção como exercício interactivo para publicar aqui, apareceram-nos vários problemas com que não contávamos. Mas aqui fica uma versão do exercício. As ferramentas disponíveis são: a primeira para permitir mover os elementos desenhados, a segunda para marcar livres ou sujeitos a pertencer a rectas ou círculo, a terceira para traçar rectas por um ponto, a quarta para marcar o ponto de intersecção de duas rectas seleccionadas, a quinta para voltar atrás, a quinta para pedir ajuda e uma sexta para voltar ao princípio de tudo). Pode acontecer que alguma das ferramentas precise de insistência. No caso desta versão de exercício, aconteceu-nos muitas vezes que cada recta que deesenhamos como secante ao círculo não fica logo na posição que queremos. Isso só nos obriga a usar a primeira ferramenta e deslocar a recta para onde queremos. A Mariana teve o cuidado de nos enviar as justificações todas sobre as suas construções. Pedimos desculpa à Mariana pelos atrasos e pela nossa insistência em experimentar transformar a sua resolução em exercício interactivo.

Clique em "uma versão do exercício" para ter acesso ao exercício interactivo que lhe propomos.
Clique em "justificações todas sobre as suas construções"(.pdf) para descarregar o texto da Mariana.

Construção de um triângulo dados os pontos médios dos lados

Andreia Figueiredo escreveu-nos uma mensagem com propostas de construções. Escreve ela:
(...)foi-nos possibilitada a exploração de algumas das enumeras potencialidades do programa de geometria dinâmica de nome Cinderella. Após algumas experiências, apercebemo-nos logo do seu elevado valor como instrumento auxiliar no ensino da geometria a alunos do ensino básico e secundário. Deste modo, foi-nos apresentado o vosso Blog de Geometria, que nos desafia a resolver, com o Cinderella, alguns problemas de geometria, com o objectivo de nos pôr a praticar.
Assim, queria apresentar a minha resolução para dois exercícios propostos no vosso blog. Os exercícios que resolvi são da autoria de Puig Adam e encontram-se expostos na secção intitulada Pontos e rectas notáveis de um triângulo. Seguidamente, apresento os seus enunciados, bem como, o processo que proponho para a sua resolução explicado passo a passo.
EXERCÍCIO 1:
Construir um triângulo do qual se conhecem os pontos médios dos seus lados.

Da lição de Puig Adam, referida por Andreia, então escolhemos 8 exercícios para propor aos leitores. Eram eles:

1. Demonstrar que as paralelas a dois lados de um triângulo que passem pelo baricentro dividem o terceiro lado em três partes iguais.
2.Demonstrar que a recta que une o vértice A de um triângulo [ABC] com o incentro I corta a circunferência circunscrita num ponto P equidistante de B, de I e de C.
3. Em que circunstâncias é que os quatro lados de um quadrilátero determinam dois a dois quatro triângulos dos quais as circunferências circunscritas passam por um mesmo ponto M? Enunciar e demonstrar o resultado.
4. Demonstrar que os circuncentros dos quatro triângulos em que um quadrilátero convexo fica dividido pelas suas diagonais são vértices de um paralelogramo.
5. Construir um triângulo de que se conhece um lado e duas medianas
6. Demonstrar que o triângulo dos exincentros é sempre acutângulo.
7. Demonstrar que a recta de Simson relativa ao ponto P está a igual distância de P e do ortocentro H.
8. Construir um triângulo de que se conhece os pontos médios dos seus lados. E um pentágono? E um heptágono? O que se passa se o polígono tiver um número par de lados?

Aqui ficam de novo para despertar o apetite.

A proposta de exercício de Andreia Figueiredo reporta-se a parte do exercício 8 desta lista. Que aqui fica proposto como exercício interactivo. Para fazer o trabalho clique aqui.