Tangentes exteriores a dois círculos

Quando aqui colocámos os primeiros problemas sobre circunferências e tangentes, deixámos para trás os problemas mais simples. A preocupação de então era apresentar problemas que interessassem estudiosos para recebermos retorno. Não nos podemos queixar. Só agora começámos a dar por algumas faltas nas publicações. Algumas construções tinham sido feitas para anteriores experiências mais ou menos falhadas. Em artigo anterior, colocámos exercícios interactivos para a construção da tangente a uma circunferência tirada por um ponto exterior. Hoje o problema é outro.

Problema: Temos duas circunferências de raios r e R e determinamos (com régua e compasso) rectas tangentes comuns às duas" Da antiga construção:
Nota prévia: na resolução em Cinderella, as linhas referentes aos dados estão a azul, as linhas referentes a construções estão a verde. Há duas tangentes externas e duas tangentes internas.
Temos duas circunferências de centros A (raio r) e B (raio R).
Em construção à parte, determinamos a diferença R-r.< br> Com centro em B, traçamos a circunf. de raio R-r. Traçamos a tangente a esta circunferência a partir de A: recta c; ponto de tangência: H.
Seja H' o ponto de intersecção de BH com a circunferência de centro B e raio R.
Por A tiramos a perpendicular a c; seja L o ponto de intersecção de AL com a circunferência de centro A e raio r.
A recta LH' (a preto) é uma das quatro tangentes pedidas.
E fica por resolver a determinação das tangentes interiores. Essa é a proposta.(*)

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Processo da reconstrução, usando Geogebra, feita pelo reconstrutor Aurélio Fernandes:
São dadas duas circunferências: uma de raio r=AD, outra de raio R=BE. Traçar as tangentes comuns às duas circunferências: exteriores e interiores.

[A.A.F]
1) Tangentes exteriores
- Tracemos a circunferência de centro B e raio R-r=BF.
- A partir de A, tracemos as tangentes à circunferências de centro B e raio BF: AH e AG. (Basta traçar a circunferência de centro no ponto média M ao segmento AB para obter H e G)
- Seja H’ o ponto de interseção de BH com a circunferência de centro B e raio R; e G´ o ponto de interseção de BG com a circunferência de centro B e raio R
- Finalmente por H’ traçamos uma paralela a AH e por G´ uma paralela a AG (retas a vermelho). São as tangentes exteriores pretendidas.

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Escrevia-se na entrada inicial:
(*) E fica por resolver a determinação das tangentes interiores. Essa é a proposta.
E [A.A.F.] aqui apresenta uma construção em resposta a essa proposta:
[A.A.F.]

Carta de Brigite Silva

Arsélio
(...) foi-nos apresentado o vosso Blog de Geometria, pelo que nos propusemos a pensar, discutir e resolver alguns dos problemas apresentados. Deste modo, estou a enviar-lhe (...) a minha proposta de resolução para um dos problemas que se encontra no vosso blog de geometria. Em anexo envio os ficheiros onde se encontra o enunciado do problema e o meu processo de construção. Para qualquer crítica, dúvida ou sugestão poderão contactar-me: Brigite Simões da Silva (III) Rectas e Circunferências

Problema:
Traçar uma circunferência de raio r dado que seja tangente a duas rectas concorrentes dadas.

Processo de construção:


[A.A.F]
reconstrói (em 16/02/2021 recorrendo a Geogebra)
a construção proposta por Brigite Silva que tinha sido feita em 2005 recorrendondo o Cinderella.

Pretendemos encontrar a circunferência tangente a duas rectas concorrentes, dado o seu raio.
São dadas duas rectas concorrentes a e b e o raio da circunferência r, que corresponde ao comprimento de [BE], construído para auxiliar a construção.
A circunferência que procuramos deve ter o seu centro a uma mesma distância das duas rectas, pelo que deverá pertencer à bissectriz do ângulo formado pelas rectas concorrentes no ponto A.
Sabemos que o centro C da circunferência terá que pertencer à bissectriz mas não sabemos a sua posição. Então comecemos por traçar a circunferência de centro A e raio r. De seguida tracemos uma recta perpendicular a a (ou a b) que passe por A, que designaremos por d. Seja D o ponto de intersecção da recta d com a circunferência traçada.
Como a distância entre quaisquer duas rectas paralelas é constante, traçando uma recta (denotada por e) paralela a a e que passe por D, asseguramos que a distância entre as duas é igual ao raio da circunferência que pretendemos traçar.
O centro C da circunferência que procuramos será a intersecção da recta e com a bissectriz do ângulo formado pelas rectas concorrentes.
Para determinar o ponto de tangência da circunferência procurada com a recta a, tracemos uma recta perpendicular a a que passe por C. O ponto de tangência será F.
Neste momento dispomos dos dados necessários para traçar a circunferência tão desejada, será ela a circunferência de centro C que passe por F.

Pedia-se finalmente:
Comente a construção de Brigite Silva.