A segunda construção de Sofia Canoso

Em   Triangularidades   colocávamos vários problemas para resolver. A Sofia Canoso apresenta a resolução de um deles. Aqui fica à consideração de todos.
Problema:
Construir um triângulo de que se conhece um ângulo Â, um lado a e a soma b + c dos lados restantes.
Resolução:

[Para ver a construção dinâmica de Cláudia Sofia Canoso,
basta clicar sobre esta ilustração]

Suponhamos que se conhece o lado [AB], de comprimento a, (que se pode alterar movendo A ou B) e a soma dos comprimentos dos outros dois b + c, que corresponde ao comprimento de [A'H'], na nossa figura. É dado também o ângulo em A, que podemos variar movendo a recta a.
Conhecemos b + c mas não sabemos a posição exacta do ponto C (apenas sabemos que terá de pertencer à recta a). Então tracemos a circunferência de centro A e raio b + c. Essa circunferência intersecta a recta a em dois pontos. Consideremos um deles, H. O comprimento de [AH] é b + c.
Para encontrar C, basta pensarmos que este tem de estar entre A e H (porque b + c > c e b+ c > b) e que podemos considerar a distância de A a C igual a c e a distância de C a H igual a b (por forma que a soma seja b + c).
- Como a distância de A a B é a e a distância de A a C é c, a distância de B a C será b, pelo que o triângulo [BCH] será isósceles de base [BH].
- Então C pertencerá à mediatriz do segmento de recta [BH], pelo que marcamos o ponto médio deste segmento, M. A mediatriz de [BH] é a perpendicular a este segmento que passa por M, c.
- O ponto C resulta da intersecção da mediatriz de [BH] com a recta a.
O triângulo [ABC] encontrado satisfaz as condições requeridas.
Observação:
Atendendo a que num triângulo se tem de verificar a desigualdade triangular, este problema só tem sentido quando b + c > a.

Primeira carta de Sofia Canoso

(...)
Junto envio uma proposta de resolução de um problema de construção de um triângulo conhecida a altura a partir do vértice A, o ângulo em A e o comprimento de [BC]. De seguida enviar-lhe-ei outra mensagem com a resolução de um outro problema: Construir um triângulo conhecido um lado a, um ângulo  e a soma dos lados restantes.
Qualquer dúvida acerca das resoluções, ou sugestão de alteração de algo, poderá contactar-me:
Cláudia Sofia Canoso

Problema:

Construir um triângulo de vértices A, B e C, conhecidos:
* o lado [AC], de comprimento b;
* a altura h', tirada a partir de A;
* o ângulo em A.

Resolução:

[Para ver a construção dinâmica de Cláudia Sofia Canoso,
basta clicar sobre esta ilustração]

Para resolver este problema, usaremos uma construção auxiliar. Iremos estabelecer uma correspondência entre elementos da construção principal e elementos da construção auxiliar: A e A';C e C';H e H' (H tal que [AH] é a altura a partir de A); b = b' = comprimento do lado [AC] do triângulo; h' = altura do triângulo [ABC] a partir de A (comprimento de [AH] e de [A'H']).
Dado o lado [AC], que podemos mover através dos pontos A e C, e o ângulo em A, definido pelas rectas AC e AB, que podemos alterar movendo a recta AB , pretende-se encontrar o terceiro vértice do triângulo, B.
Conhecemos h', comprimento de [AH], mas não sabemos a posição exacta do ponto H, pelo que teremos de o encontrar primeiro:
- O ponto H estará algures sobre a circunferência de raio h' e centro A, pelo que traçamos essa circunferência.
- Uma vez que o triângulo [AHC] é rectângulo em H, porque AH é a altura a partir de A, teremos de construir um triângulo rectângulo em que um cateto mede h' e a hipotenusa mede b. Para construir este rectângulo, usemos a nossa construção auxiliar:
- Tracemos a perpendicular a A'H' por H'.
- O ponto C', resultante da intersecção desta perpendicular com a circunferência de centro A' e raio b' = b, determina juntamente com A' e H', o triângulo rectângulo pretendido. Ficamos a conhecer o comprimento de [HC] (= comprimento de [H'C']).
- Traçamos a circunferência de centro C e raio = [H'C']= b'.
O ponto H resulta da intersecção da circunferência de centro A e raio h com esta última circunferência.
Depois de encontrar o ponto H, traçemos a recta que passa por C e por H, d.
O vértice B resulta da intersecção da recta d com recta AB.
O triângulo [ABC] procurado está a verde.
©CSC, 29/04/2005, FCTUC