Sobre a resposta do oitavo

Determine os lados de um triângulo que tenha por alturas segmentos de 2, 3 e 4 cm.

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No primeiro dia - em que a pergunta foi feita à turma A do 8^o ano - depois de algum tempo a pensar e de tentativas mais ou menos frustradas de toda a gente com contas e desenhos, o Guilherme respondeu à pergunta essencial: Se as alturas eram 2, 3 e 4, os lados, a, b e c respectivos tinham de ser tais que 2a=3b = 4c porque qualquer desses produtos teria de ser o dobro da área do triângulo de alturas 2, 3 e 4, caso exista. Mais ainda: o Guilherme adiantou que os lados deviam medir 12, 8 e 6. Tinha pensado e bem em 24 - múltiplo comum a 2, 3 e 4 - como dobro da área do triângulo.
Todos deitaram mãos à obra e com réguas e compassos, começaram a desenhar o triângulo de lados 12, 8 e 6. Penso que foi o Joaquim o primeiro a medir a altura relativa ao lado 12 e a concluir que não era 2.
E eu lá escrevi no quadro que se houver um triângulo de alturas h₁, h₂ e h₃ relativas respectivamente aos lados a, b e c então terá de ser obrigatoriamente a×h₁ = b ×h₂ = c×h₃. Mas que, como estava à vista, pode acontecer serem iguais os produtos de 3 pares de números sem que haja um triângulo de que os factores de cada produto sejam lado e altura.
E assim acabou o primeiro dia. Com a construção do triângulo [PQR] e a verificação de que a altura relativa a [PQ] ( = 12), |RH| aproximadamente 3,56 e não 2.

[A.A.F.] No segundo dia, armado de régua, transferidor e compasso, reabri o problema que já tinha passado pelas famílias. Feito o resumo do trabalho da aula anterior e desenhado o triângulo [PQR] de lados 12, 8 e 6 (ou 6, 4, e 3), voltámos a pensar na possibilidade de haver uma solução. Tive de ser eu a dar o palpite de pensar num triângulo semelhante. Mas acabámos por nos decidir por desenhar o triângulo semelhante [ABC], como redução do [PQR]. E já foi um oitavo que mandou o palpite de trabalhar com as alturas para reduzir. Mais ou menos assim |CH|/|RH|=|AB|/|PQ|=|AC|/|PR|=|BC|/|QR| aproximadamente 2/3.56
Propus que mantivessemos [AB] sobre [PQ] e foi preciso esperar um bom naco de tempo até ouvir alguém dizer -- oura vez o Guilherme -- que bastava, depois de desenhar C a partir de H (interseccão da circunferência de centro em H e raio 2 com a recta RH), passar por C paralelas a PR e a QR para termos uma triângulo [ABC] com a altura [CH] de comprimento 2. Emocionante foi o desenho das restantes alturas e a verificação (agora com o Diogo como ajudante, testemunha e árbitro) de que mediam mesmo 3 e 4.


Clicando sobre a figura, pode aceder à construção dinâmica para as alturas 2, 3 e 4. Que construção geométrica para um triângulo de que são dadas alturas como 3 segmentos?

Triangularidades

Conversamos sobre um ou outro aspecto de cada problema,sobre a forma de os apresentar, o tempo certo para publicar resoluções de problemas já propostos ou para quando a publicação de novas propostas. As conversas brandas com o Aurélio sobre os problemas e sobre aspectos das apresentações deixam o ar impregnado de detalhes - o melhor disto são mesmo os detalhes sobre os quais nos focamos para melhor focar o mundo.

Temos uma proposta de resolução de António Silva para um dos problemas de triângulos, mas vamos adiar por mais algum tempo a publicação na esperança de ver aparecer várias soluções. Nessa resolução, apareceu uma discussão sobre como fazer o transporte de ângulos. Usando a ferramenta de paralelas do Cinderella ou usando régua e compasso? (Mais formativa esta última, até porque permite lembrar resultados pelo seu uso - numa circunferência ou em circunferências iguais a cordas iguais correspondem iguais arcos (ou ângulos ao centro), por exemplo - até porque o compasso só transfere comprimentos de segmentos). Há um trabalho muito elaborado de Mariana Sacchetti, em resposta à nossa pergunta sobre a razoabilidade da construção que apresentámos para a rectificação aproximada de uma circunferência (Dia do π). Publicar-se-ão nos artigos a que se referem. Não perdem por esperar.
Propostas de novas curvas feitas por Antero Neves talvez venham a merecer artigos novos caso haja algum trabalho sobre elas, possamos descobrir que desafio elas nos colocam e possa ser resolvido por nós ou por quem acompanha.

As conversas brandas obrigaram-me a pensar nos problemas sobre triângulos que foram propostos por Aurélio Fernandes fora deste lugar e nos têm dividido quanto à oportunidade de os colocar.
Decidi apresentar três deles para ocupar mais gente.

O primeiro deles vai antecipado de perguntas que talvez ajudem (e que vou fazer a alunos do 8º ano):

Determine os lados de um triângulo que tenha por alturas segmentos de 2, 3 e 4 cm.
Haverá algum triângulo que tenha por alturas segmentos de 1, 3 e 4 cm?
E o problema de construção :
Construir (com régua e compasso?) um triângulo de que se conheçam só as três alturas

O segundo:

Construir um triângulo de que se conhece um ângulo A, um lado a e a soma b+c dos lados restantes.

O terceiro:

Construir um triângulo equilátero com um vértice sobre cada uma de três paralelas dadas.

Aguardamos novas participações. Há mais do que uma forma para os resolver. Deve haver.
Podemos passar a vida a olhar sem descanso para triângulos. Há sempre alguma coisa de que não nos demos conta. Triangularidades!

Com mais ou menos variações, estes exercícios propostos pelo Aurélio e o último pelo Veloso, podem ser vistos e achados em livros clássicos de geometria, por exemplo, em
Th. Caronnet; Exércices de Géométrie. Compléments. Librairie Vuibeert. Paris: 1946
Claro que Caronnet (ou Puig Adam, na sua Geometria Métrica já recenseada em artigos anteriores) consideram os exercícios para ilustrar um aspecto, muitas vezes insuspeito, da geometria. Nem sempre concordamos com isso. E procuramos explicações para a nossa discordância. Publicamos sobre a discordância, claro.