As medianas de um triângulo são concorrentes

Teorema:
As medianas de um triângulo ABC são concorrentes


[AdAM]


Chamamos a ao lado BC, b a AC e c a AB. Chamamos M_a ao ponto médio de a (BM_a=M_aC), M_b ao ponto médio de b e M_c ao ponto médio de c. Ao segmento que tem extremos num vértice e no ponto médio do seu lado oposto chamamos mediana do triângulo, As medianas do triângulo ABC são: AM_a, BM_b e CM_c. Lembramos ainda que M_aM_b é paralelo a AB, M_bM_c paralelo a BC e M_aM_c paralelo a AC (a homotetia de centro C e razão 2 transforma M_aM_b em AB e, por isso, não só M_aM_b é paralelo a AB como AB=2 M_aM_b, ...).

Demonstração:
As medianas AM_a e BM_b intersectam-se num ponto a que chamamos G. Consideremos o triângulo AGB e os pontos D e E médios de AG e BG. Como já vimos, DE é paralelo a AB e paralelo a M_aM_b e AB=2DE=2M_aM_b. M_aM_b e DE são paralelos e iguais, logo M_aM_bED é um paralelogramo, cujas diagonais se cortam ao meio, em G ponto médio de EM_b. Construindo, de modo análogo, um paralelolgramo relativo ás medianas BM_b e CM_c. que tem diagonais EM_b e FM_c a intersectar-se a meio, em G, ponto médio de EM_b. Fica assim provado que a mediana CM_c passa por G.