Ângulos de retas e cónicas

Na segunda, tomamos uma cónica e dois feixes centrados em dois pontos da cónica a intersetar-se em outros 4 pontos da cónica que corresponde a fazer a cruzar retas tiradas de dois pontos para os outros quatro (ver definição de cónica por Steiner ou construção de Braikenbridge-McLaurin). Sabemos que os pontos da cónica são intersecções de retas correspondentes em feixes projetivos. Verificamos que são iguais as razões duplas dos dois feixes projetivos assim definidos.

Na figura (actual, não) podíamos fazer variar os pontos visíveis sobre a cónica. Mas sempre podemos fazer outra para agora: br>
Fica assim respondida a pergunta
Será que esta congruência de ângulos para pares de retas correspondentes em feixes projetivos que definem a cónica circunferência, acontece para todas as cónicas?
deixada na entrada Feixes projetivos no círculo e congruência de ângulos.
A resposta é dada pela observação simples das figuras. O que se mantém é a razão dupla das retas dos feixes que é uma razão dupla (razão de razões dos senos dos ângulos formados por pares de retas).

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F. I. Asensi, Geometria Desscriptiva Superior y Aplicada. Editorial Dosssat, S.A. Madrid:1980
Richter-Gebert. Perpsectives on Projective Geometry. Springer. Berlin:2011
H. S. M. Coxeter, Projective Geometry, Springer. NY:1994
C.F. Klein, Elementary Mathematics from an advanced standpoint - Geometry Dover Publications, inc. New York:2004

Dois feixes projetivos têm a mesma razão dupla