Da lista de problemas apresentada por Hilbert durante o segundo Congresso II Congresso Internacional de Matemáticos que se realizou em 1900 (Paris) constava um problema sobre pavimentações:
Será verdade que qualquer pavimentação pura (monoedral, composta por polígonos congruentes) também admite que há uma simetria da pavimentação que leva de um ladrilho para qualquer outro?
Supostamente, Hilbert pensava que isso era verdade. Passados 35 anos alguém provou que não era verdade com um contra-exemplo em que o ladrilho era um polígono concavo.
E depois Kershner apresentou exemplos de pentágonos convexos que pavimentavam o plano e em que havia pares de ladrilhos, para os quais nenhuma simetria da pavimentação levava de um para o outro.
Apresenta-se a ilustração dinâmica de uma pavimentação em que deixamos as propriedades do ladrilho pentagonal (ferramenta geogebra e pavimentação feita por Mariana Sacchetti) e os quatro pentágonos de partida. Trata-se ainda de uma pavimentação periódica com translações associadas a dois vetores independentes).
Pode deslocar o ponto verde e variar o tamanho dos ladrilhos.
