Intersecção de uma recta AB com uma circunferência C(D) (C em AB, recurso a compasso só)

Vamos retomar o problema da entrada anterior no caso em que $\;C \in AB\;$. Ou seja:
Usando só o compasso moderno, vamos realizar uma construção dinâmica adequada ao problema de

determinar os pontos de intersecção de uma reta que passa por dois pontos dados $\;A, \; B\;$ com uma circunferência de que são dados o centro $\;C,\;$ incidente em $\;AB,\;$ e um dos seus pontos $\;D.\;$

$\;\fbox{1}:\;$ Dados $\;A, \;B$ da recta a que também pertence $\;C\;$ centro de uma circunferência que passa por $\;D\;$ dados.
$\;\fbox{2}:\;$ Com compasso desenhamos as circunferências $\;(C,\;D)\;$ e $\;(A,\;D)\;$ que se intersectam em $\;D, \;E. \;$
Como $\;\overline{AD}=\overline{AE},\;\; A\;$ é um ponto da mediatriz de $\;[DE].\;$
Como $\;D\;$ e $\;E\;$ também estão na mesma circunferência de centro $\;C, \;$ este também é um ponto da mediatriz de $\;[DE].\;$ Se os 3 pontos $\;A, \;B, \;C\;$ são colineares, podemos concluir que AB é a mediatriz de $\;[DE].\;$
$\;\fbox{3}:\;$ Com o compasso, construímos as circunferências

1. uma de centro $\;C\;$ e raio $\; \overline{DE}\;$ e
2. outra de centro $\;E\;$ e raio $\overline{CD}\;$

e guardemos o ponto $\;G\;$ da intersecção das duas, quarto vértice de $\;[DCEG]\;$
$\;\fbox{4}:\;$ Simetricamente guardemos o ponto $\;F\;$ da intersecção $\;(C, \;\overline{DE}).(D,\; \overline{DC}),\;$ quarto vértice de $\;[DCEF]\;$
$\;\fbox{5}:\;$ As circunferências $\;(F, \; \overline{FE})\;$ e $\; (G, \; \overline{GD})\;$ intersectam-se em dois pontos, um deles $\;H,\;$ assinalado na figura.
$\;\fbox{6}:\;$ Finalmente $\;(F, \; \overline{CH}).(C,\; \overline{CD}) =\{J,\; K \}\;$ ou $\; =(G, \; \overline{CH}).(C,\; \overline{CD})\;$ dão-nos os pontos da intersecção $\;AB . (C, \overline{CD})\;$

Compasso moderno: Intersecção de uma circunferência com uma recta.

Voltamos a problemas de construção para serem resolvidos com ferramentas previamente definidas.
Quatro pontos $\;A,\; B, \;C, \;D\;$ chegam para definir uma reta $\;AB\;$ por exemplo, e uma circunferência de centro $\;C\;$ que passa por $\;D.\;$
O enunciado do problema desta entrada, é, considerando que o centro $\;C\;$ da circunferência não incide na recta $\;AB,\;$ o seguinte:

determinar os pontos de intersecção da reta $\;AB\;$ com a circunferência $\;(C,\; \overline{CD}),\;$ usando só o compasso moderno.

Clicando nos botões da barra ao fundo do rectângulo de visualização:
$\;\fbox{2}\;:\;$ Determinamos o ponto $\;E\;$ tal que $$\;\overline{AC}= \overline{AE} \wedge \overline{BC}= \overline{BE}$$ ou seja que é a intersecção $\; (A,\; \overline{AC}).(B, \;\overline{BC}).$
$\; \fbox{3}\;:\;$ Os pontos $\;F\;$ e $\;G\;$ obtidos como intersecção de $\;(C, \;\overline{CD})\;$ com $\;(E, \;\overline{CD})\;$ são pontos equidistantes de $\;C\;$ e de $\;E :\;$ e são pontos da mediatriz de $\;[CE]\;$
$\; \fbox{4}\;:\;$ Como já tínhamos visto em $\;\fbox{2}\;:\;$ também $\;E, \;C\;$ estão à mesma distância de $\;A\;$ por estarem na circunferência de centro $\;A\;$ e raio $\;\overline{AC},\;$ ou seja $\;A\;$ é um ponto da mediatriz de $\;[CE].\;$ E, por igual razão, $\;B\;$ também é um ponto dessa mediatriz.
Concluindo: $\;F\;$ e $\;G\;$ são colineares com $\;A\;$ e $\;B\;$ e simultaneamente são pontos da circunferência $\;(C, \overline{CD})\;$
Este processo só resolve o problema se $\;C\;$ - o centro da circunferência - não estiver na reta $\;AB\;$ ou seja, não for colinear com $\;A, \;B. \;$

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Howard Eves. Fundamentals of Moderno Elementary Geometry.Jones and Bartlett Publishers. Boston:1992.