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30.9.13

Arbelos: Teorema de Pappus - demonstração usando inversão


Na entrada anterior, referimos um Teorema de Pappus relativo à chamada cadeia de Pappus, sequência de circunferências tangentes a duas circunferências dadas e cada uma delas tangente à que a precede e à que a sucede.
Na nossa construção, partimos de 3 pontos colineares X,Y,Z, e das circunferências de diâmetros XZ, XY e YZ. A circunferência de centro O0 é a circunferência de diâmetro YZ, seguida das circunferências de centros O1,O2,O3,On da cadeia.
O enunciado do Teorema de Pappus pode enunciar-se assim:
Sejam X, Y e Z três pontos colineares tais que Y está entre X e Z e sejam as circunferências (na figura a violeta, amarelo torrado e azul topázio) de diâmetros XZ, XY, YZ. Os círculos c1,c2,c3,,cn todos tangentes às semicircunferências violeta e amarelo torrado, com c1 tangente ainda à semicircunferência azul topázio c0 e à circunferência c2; c3 tangente a c2 e c4, etc, ... cn tangente a cn1 e a cn+1. Se designarmos por rn o raio de cn e por hn a distância de On a XZ , então
hn=2nrn
Na figura destacámos a negro c2 para ilustrar este resultado para o qual h2=2×2×r2.

fotografia de construção *.cdy a ser substituída por construção interactiva *.ggb, logo que possível

A demonstração, com recurso à inversão, é feita com toda a generalidade.
  1. Consideremos a inversão relativa à circunferência de centro X e raio tn em que tn é o comprimento da tangente a cn tirada por X (no caso da nossa ilustração: circunferência de centro X e raio t2 em que t2=XT2 sendo T2 o ponto de tangência da tangente a c2 tirada por X ).
  2. Fazemos isso, porque XTn é perpendicular a OnTn, sendo XTn tangente a cn e OnTn tangente à circunferência de inversão e, por isso, cn ser ortogonal à circunferência de inversão. As circunferências ortogonais à circunferência de inversão são inversas de si mesmas.
    Pela inversão I(X,t2n) a inversa de cn é cn.
  3. As inversas das circunferências de diâmetros XZ e XY são retas, já que elas passam por X, centro da inversão. Estas retas ficam definida pelos pontos de interseção dessas circunferências com a circunferência de inversão.
  4. A inversa da circunferência de centro O0 (diâmetro YZ) é uma circunferência tangente às duas retas, determinadas como inversas das circunferências de diâmetros XZ e XY de centro Kn colinear com X, Y, Z e O0(no caso da nossa ilustração, trata-se da circunferência de centro K2 e raio=O2T2). Tanto On como Kn estão sobre perpendicular equidistante das retas correspondentes, pela inversão, às circunferências de diâmetros XZ e XY e por isso os seus raios são iguais a OnTn.
  5. O raciocínio feito para a inversa de c0 serve para as circunferências c1, c2, cn1 que são tangentes às duas circunferências originais, tendo inversas ci,0in tangentes a essas retas obtidas como inversas das originais. Todas essas inversas têm o mesmo raio OnTn.
  6. Para além de serem tangentes a essas retas inversas cada uma delas ci deve ser tangente a ci1 e a ci+1. No caso da nossa ilustração c1 é tangente a c0 e a c2=c2 e, por isso, h2 ou O2K2 é igual à soma de um raio de c0 + 2 raios de c1 + 1 raio de c2, no total 4r2
  7. Para dn, teremos 1 rn para c0 e outro para cn=cn para além de 2(n1)rn correspondentes aos diâmetros de n1 circunferências iguais a cn, ci,1in1: 2+2(n1).rn=2nrn=dn

Howard Eves, Fundamentals of Modern Elementary Geometry . Jones and Bartlett Pub. Boston:1992

27.9.13

Construir uma cadeia de Pappus usando uma inversão


Antes da demonstração do teorema de Pappus, sobre uma propriedade da cadeia de Pappus (arbelos, faca de sapateiro), publicamos uma construção da cadeia de Pappus, recorrendo à inversão, proposta por Mariana Sacchetti.
Na nossa construção, partimos de um segmento XZ, a ser percorrido por um ponto Y, circunferências de diâmetros XZ, XY e XZ. Depois determinamos, com a ajuda de uma inversão, as circunferências da cadeia, tangentes às referidas de diâmetros XZ e XY e cada uma delas tangente ainda a duas da cadeia.


Para construir a cadeia, Mariana propôe uma inversão relativa a uma circunferência com centro em X e raio XZ.
Por essa inversão, I(X,XZ2), as inversas das circunferências de diâmetros XZ e XY que passam pelo centro X de inversão, são retas. A inversa da circunferência de diâmetro XZ tem o ponto Z sobre a circunferência de inversão e, por isso, passa por Z.
Assim, as circunferências da cadeia têm inversas tangentes às inversas das cirucnferências de partida. Como cada uma delas temm ainda de ser tangente a duas outras da cadeira, as suas inveersas empilham-se entre as retas inversas das circunferências de partida, cada uma tangente a essas retas e tangentes às vizinhas, como bem ilustra a construção.
As circunferências da cadeia são obtidas por inversão, I(X,XZ2), aplicada às circunferências da pilha sequencial entre retas.

25.9.13

Determinar a envolvente de uma família de circuncírculos com recurso à inversão


Nesta entrada, mostramos como a utilização da inversão nos permite determinar um lugar geométrico. A ilustração é muito dinâmica e podia ter-se ficado pela observação dos traçados ou pela apresentação do lugar geométrico que o Cinderella (ou outro programa de geometria dinâmica nos fornece). Mas o recurso à inversão é inestimável para compreender melhor e para desvendar procedimentos de construção e demonstração.
Enunciemos:

Os lados azuis de um ângulo dado de vértice O fixo, em torno do qual rodam, são cortados por uma reta azul em A e B. Para cada posição dp ângulo AÔB, há um triângulo e a respetiva circunferência circunscrita definida por A,O,B. Qual será a envolvente da infinidade das circunferências OAB obtidas quando o ângulo roda em torno do seu vértice O?

Na nossa construção, partimos de um ângulo de amplitude fixa, vértice O e lados azuis que cortam a reta r (outro azul) em A e B.
em vez da construção *.cdy uma ilustração estática espera ser substituída por uma nova construção interactiva talvez*.ggb
Acompanhe a explicação dos passos dados com a figura original não animada. Claro que pode mover a reta r, rodar o ângulo (há um ponto verde para isso). E pode animar a figura usando os botões de animação ao fundo à esquerda.


Para cada reta r e cada posição do ângulo de duas retas (amplitude α ou πα) há um triângulo único OAB e logo uma única circunferência circunscrita desenhada a cinza na figura. Quando o ângulo roda em torno de O, A e B percorrem a reta r e criando desse modo uma infinidade de circunferências circunscritas. Sera que podemos determinar a envolvente dessa infinidade de circuncírculos?
  1. A inversão relativamente a uma circunferência de centro O e raio OH, I(O,OH2), é a ajuda que precisamos para passarmos do circuncírculo OAB para uma reta a passar pelos pontos de interseção do círculo de inversão a vermelho como o circuncírculo. O circuncírculo passa pelo centro de inversão (e a sua imagem é uma reta), passa por A e B (e a sua inversa passa por A e B.
  2. A inversa da reta r=AB que passa por H, ponto da circunferência de inversão, é uma circunferência que passa pelo centro O de inversão, por H=H, por A e por B. O seu centro é o ponto médio de OH Lembremos que, para cada reta r, OH é independente da rotação do ângulo em torno de O, como o é a circunferência de centro O e raio OH.
  3. As cordas AB da circunferência de centro O e raio OH são iguais por corresponderem a ângulos ao centro e arcos iguais correspondentes ao nosso ângulo O inscrito na circunferência inversa de r. Os pontos médios destas cordas na circunferência de diâmetro AH são pontos de uma circunferência concêntrica, desenhada na figura, que é a envolvente destas cordas AB.
  4. Esta circunferência que tem centro no ponto médio de OH e toca a corda a AB é a envolvente da inversa do circuncírculo. Assim, a correspondente desta, pela mesma inversão I(O,OH2), tocará o circuncírculo nos correspondentes aos pontos médios das cordas AB. E sabemos que a inversa de uma circunferência que não passa pelo centro de inversão é uma circunferência. Está provado que a envolvente dos circuncírculos é uma circunferência. Que circunferência? Quanto mede o seu raio? Onde está o seu centro?
  5. Claro que o centro da envolvente dos circuncírculos estará sobre a reta OH. Para o resto, bastará considerar uma tangente à circunferência envolvente de AB, tirada por O, centro de inversão. Chamemos T ao ponto de tangência. Pela inversão I(O,OH2), a T corresponderá um ponto T de tangência da circunferência envolvente dos circuncírculos. E OT×OT=OH2.
  6. OT corta a circunferência inversa de r numa posição de A, que designamos por P, correspondente a uma posição A sobre a reta r, que designamos por P. Sabemos, por isso, que OP=2.OT. OH2=OP×OP=OP×2.OT=OT×OT de onde se conclui que OT=2×OP. Podemos assim determinar sobre a reta que passa por O,T,P´,P o ponto T de tangência da tangente tirada por O à inversa da envolvente de AB. O centro desta circunferência, envolvente dos circuncírculos, está na interseção da reta OH com a perpendicular a OT tirada por T.
    Ficou assim determinada a envolvente aos circuncírculos OAB.
Para confirmar este resultado, clique no botão da animação em baixo à esquerda.
Caronnet, Th. Éxércices de Géométrie Vuibert. Paris:1946
Howard Eves, Fundamentals of Modern Elementary Geometry . Jones and Bartlett Pub. Boston:1992

17.9.13

O produto das diagonais de um quadrilátero convexo é no máximo igual à soma dos produtos dos seus pares de lados opostos



Nesta entrada apresentamos uma ilustração e demonstração do Teorema de Ptolomeu cujo enunciado é:

De um quadrilátero convexo ABCD inscrito numa circunferência, o produto das diagonais AC×BD é igual á soma dos produtos dos dois pares de lados opostos AB×CD+BC×AD

Por diversas vezes foi citado e utilizado o Teorema de Ptolomeu neste "lugar geométrico". Nesta entrada, tratamos da sua demonstração recorrendo à inversão.
Na nossa construção, partimos de uma circunferência (a azul) e o quadrilátero convexo ABCD (a negro) nela inscrito.


  1. Queremos demonstrar que, para o quadrilátero convexo ABCD inscrito, se verifica que AB×CD+BC×AD=AC×BD. Para isso tomamos uma circunferência de inversão com centro num dos vértices do quadrilátero. No caso da nossa construção, tomamos A para centro da inversão e uma circunferência (a vermelho) de raio unitário, por conveniência de escrita ( r=r2=1) sem perder generalidade.
    A inversão de centro A e raio 1 é designada por I(A,1). Por esta inversão, o correspondente de B é um ponto B tal que AB×AB=1. Do mesmo modo, AC×AC=1 e AD×AD=1.
    Por I(A,1), a circunferência azul que contém o centro da inversão tem como correspondente uma reta (a azul na figura), sobre a qual estão B,C,D. BC+CD=BD Em entrada de 26 de Agosto p.p., mostrámos que, para uma inversão I(O,r2) que transforma P em P e Q em Q. PQ=PQr2OP×OQ. No caso de I(A,1) BD=BDAB×AD,BC=BCAB×AC,CD=CDAC×AD BC+CD=BDBDAB×AD=BCAB×AC+CDAC×AD e, em conclusão,, BD×AC=BC×AD+CD×AB como queríamos.
  2. Com esta demonstração, recorrendo à inversão, podemos generalizar este resultado de Ptolomeu imediatamente. Assim:
    Se o polígono convexo ABCD não estiver inscrito num círculo, i. e., se os pontos A,B,C,D não forem concíclicos, pela inversão I(A,1), os pontos B,C,D não são colineares. Pela desigualdade triangular, BD<BC+CD e, em consequência, AC×BD<AB×CD+BC×AD Podemos assim afirmar que , em geral,
    o produto das diagonais de um quadrilátero convexo é no máximo igual à soma dos produtos dos pares de lados opostos.

Howard Eves, Fundamentals of Modern Elementary Geometry . Jones and Bartlett Pub. Boston:1992