Na entrada anterior, referimos um Teorema de Pappus relativo à chamada cadeia de Pappus, sequência de circunferências tangentes a duas circunferências dadas e cada uma delas tangente à que a precede e à que a sucede.
Na nossa construção, partimos de 3 pontos colineares X,Y,Z, e das circunferências de diâmetros XZ, XY e YZ. A circunferência de centro O0 é a circunferência de diâmetro YZ, seguida das circunferências de centros O1,O2,O3,…On… da cadeia.
O enunciado do Teorema de Pappus pode enunciar-se assim:
Sejam X, Y e Z três pontos colineares tais que Y está entre X e Z e sejam as circunferências (na figura a violeta, amarelo torrado e azul topázio) de diâmetros XZ, XY, YZ. Os círculos c1,c2,c3,…,cn… todos tangentes às semicircunferências violeta e amarelo torrado, com c1 tangente ainda à semicircunferência azul topázio c0 e à circunferência c2; c3 tangente a c2 e c4, etc, ... cn tangente a cn−1 e a cn+1. Se designarmos por rn o raio de cn e por hn a distância de On a XZ , então
hn=2nrn Na figura destacámos a negro c2 para ilustrar este resultado para o qual h2=2×2×r2.
fotografia de construção *.cdy a ser substituída por construção interactiva *.ggb, logo que possível
A demonstração, com recurso à inversão, é feita com toda a generalidade.
- Consideremos a inversão relativa à circunferência de centro X e raio tn em que tn é o comprimento da tangente a cn tirada por X (no caso da nossa ilustração: circunferência de centro X e raio t2 em que t2=XT2 sendo T2 o ponto de tangência da tangente a c2 tirada por X ).
-
Fazemos isso, porque XTn é perpendicular a OnTn, sendo XTn tangente a cn e OnTn tangente à circunferência de inversão e, por isso, cn ser ortogonal à circunferência de inversão. As circunferências ortogonais à circunferência de inversão são inversas de si mesmas.
Pela inversão I(X,t2n) a inversa de cn é cn. - As inversas das circunferências de diâmetros XZ e XY são retas, já que elas passam por X, centro da inversão. Estas retas ficam definida pelos pontos de interseção dessas circunferências com a circunferência de inversão.
- A inversa da circunferência de centro O0 (diâmetro YZ) é uma circunferência tangente às duas retas, determinadas como inversas das circunferências de diâmetros XZ e XY de centro Kn colinear com X, Y, Z e O0(no caso da nossa ilustração, trata-se da circunferência de centro K2 e raio=O2T2). Tanto On como Kn estão sobre perpendicular equidistante das retas correspondentes, pela inversão, às circunferências de diâmetros XZ e XY e por isso os seus raios são iguais a OnTn.
- O raciocínio feito para a inversa de c0 serve para as circunferências c1, c2, cn−1 que são tangentes às duas circunferências originais, tendo inversas c′i,0≤i≤n tangentes a essas retas obtidas como inversas das originais. Todas essas inversas têm o mesmo raio OnTn.
- Para além de serem tangentes a essas retas inversas cada uma delas c′i deve ser tangente a ci−1 e a ci+1. No caso da nossa ilustração c′1 é tangente a c′0 e a c′2=c2 e, por isso, h2 ou O2K2 é igual à soma de um raio de c′0 + 2 raios de c′1 + 1 raio de c′2, no total 4r2
- Para dn, teremos 1 rn para c′0 e outro para c′n=cn para além de 2(n−1)rn correspondentes aos diâmetros de n−1 circunferências iguais a cn, c′i,1≤i≤n−1: 2+2(n−1).rn=2nrn=dn◻
Howard Eves, Fundamentals of Modern Elementary Geometry . Jones and Bartlett Pub. Boston:1992