GEOMETRIA : novembro 2012

26.11.12

Experiência interativa: Ponto de intersecção de cónica com reta

Depois da experiência interativa da entrada anterior, podemos propor uma experiência dual, claro.
Onde dávamos cinco retas para definir uma cónica (o polígono circunscrito à cónica), aqui damos cinco pontos sobre a cónica (o polígono inscrito na cónica). Onde pedíamos o ponto de tangência de uma das retas (ou lados), aqui pedimos uma reta tangente num dos vértices. E, quem resolver um deles, pode resolver o outro usando o mesmo processo. Onde escrevíamos A, escrever a, e onde estava a.b, escrever AB, ...
Bom trabalho.

Antes das ferramentos de marcação de pontos e traçado de retas por dois pontos, aparece uma ferramenta para deslocar elementos
Os passos dados usando as ferramentas disponíveis:
- [a, "Um dos lados do polígono inscrito, sim"],p.ex. AB
- [b,"Claro que todos os lados interessam"], BC,
- [d,"Um lado do polígono inscrito"],CD,
- [e, "Um lado do polígono inscrito"],DE,
- [F, "Intersetar pares de lados sem vertices comuns"],AE.ED
- [G, "Intersetar lados sem vértices comuns, claro"], ED.BC
- [f, "Reta onde se encontram esses lados (opostos?)"], FG
- [S,"Onde o lado AB encontraria um lado oposto, se tivessemos um hexágono ABCDDE"], S
- [s, "s=SD é a tangente em D (DD oposto a AB)- Parabéns! "], DS - a tangente em D: DD ];

H. S. M. Coxeter, Projective Geometry, Springer. NY:1994

19.11.12

Teorema da Borboleta e ponto invariante da involução de Desargues

S. Schuster fixou o seguinte resultado:
Sejam P, Q, R, S, T cinco pontos, dos quais não há há três colineares. Então há uma cónica que passa pelos seis pontos A=QR.PS, B=RP.QS, C=PQ.RS
A'=QR.PT, B'=RP.QT, C'=PQ.RT

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).

A, B e C são intersecções de lados opostos de PQRS e A', B' C' são intersecções de lados opostos de PQRT. Ou seja, ABC é o triângulo diagonal do quadrângulo PQRS e A'B'C' é o triângulo diagonal de PQRT. Por isso, ABC e A'B'C' são dois triângulos auto-polares, em que nenhum dos vértices de qualquer deles incide em qualquer dos lados do outro. O resultado da entrada anterior garante que há uma só cónica a passar pelos seis vértices desses dois triângulos.

H. S. M. Coxeter, Projective Geometry, Springer. NY:1994

17.11.12

Resultado de Schuster.

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).

A construção feita esclarece que ABC é o triângulo diagonal do quadrângulo PQRS e A'B'C' é o triângulo diagonal de PQRT. São dois triângulos auto-polares, em que nenhum dos vértices de qualquer deles incide em qualquer dos lados do outro. O resultado da entrada anterior garante que há uma só cónica a passar pelos seis vértices desses dois triângulos.

H. S. M. Coxeter, Projective Geometry, Springer. NY:1994

15.11.12

Triângulos auto-polares inscritos numa cónica e circunscritos a outra

Na última entrada, ilustrámos e demonstrámos o teorema de involução de Desargues.
Sobre a ilustração que se segue, pode dizer-se que a cónica em que se inscreve o quadrângulo PQRS interseta a reta g num par de pontos TU da involução definida pela projetividade que permuta SR.g com SQ.g e também RP.g e PQ.g (Pode verificar isso considerando S variável sobre a cónica e P, Q, R, T e U posições de R).
Mas também podemos considerar a polaridade (PQR)(Sg) em que P, Q, R, S são respetivamente polos de QR, PR, PQ, g.
Esta polaridade (PQR)(Sg), em que S não incide em g, induz uma involução de pontos conjugados em g que não é autoconjugada, que é a involução determinada em g pelo quadrângulo PQRS permutando SR.g com SQ.g (e é a mesma involução de Desargues).

E podemos, assim, ler a ilustração que se segue do seguinte modo:
Se dois triângulos PQR e STU têm os seis vértices (distintos) sobre uma cónica, há uma polaridade para a qual esses dois triângulos são auto-polares.
De fato, para aquela polaridade, o triângulo PQR é auto-polar e do mesmo modo STU o é. Como a polar de S é g que passa por T e U, S é conjugado de T e a polar t de T passa por S; e, do mesmo modo, a polar u de U passa por S. As polares de T e U passam por S=t.u e, sendo T e U conjugados ou t passa por U e u passa por T ou S, T e U são colineares, já que quando as polares de vértices de um triângulo não coincidem com os lados opostos, encontram estes em três pontos colineares: g.t, g.u, u.t conforme o teorema de Chasles que enunciámos assim: se ABC e a'b'c' são triângulos distintos e polares um do outro, então são perspetivos. Pode verificar o que se passa na ilustração deslocando o S sobre a construção
Também poderiamos ter usado o teorema de Hesse assim enunciado: Se dois pares de vértices opostos de um quadrilátero completo são pares de pontos conjugados para uma dada polaridade, então o terceiro par de vértices opostos é também um par de pontos conjugados pela mesma polaridade

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).

Pode deslocar os pontos (particularmente S) sobre a cónica, de modo a ver o que acontece nas diversas posições.

A construção desta entrada ilustra especialmente o recíproco do resultado que a abre. A saber:
Se dois triângulos, em que nenhum dos vértices de qualquer deles incide em qualquer dos lados do outro, são autopolares para uma dada polaridade, os seus seis vérices incidem sobre uma cónica e os seus seis lados são tangentes a outra
Faz lembrar a segunda construção da entrada Definição projetiva de cónicas, publicada em Setembro, para que, da viagem, na paisagem da chegada, se reconheça a paisagem da partida.

H. S. M. Coxeter, Projective Geometry, Springer. NY:1994

6.11.12

Desargues: Teorema da involução

Teorema da involução de Desargues:
Das cónicas que passam pelos vértices de um quadrilátero, aquelas que intersetam uma dada reta (que não passe pelos vértices) fazem-no num par de pontos de uma involução.
A construção que se segue pretende ilustrar este enunciado. Na figura está representado um quadrângulo de vértices P, Q, R, S e uma reta g que não passa por qualquer desses vértices. Representa-se também uma cónica de entre as que passam pelos 4 vértices do quadrângulo.
Os pontos de intersecção da reta g
com os lados do quadrângulos são A=PS.g, B=QS.g, D=QR.g, E=PR.g
e com a cónica são T e U.

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).

Pode deslocar os pontos R e S e o ponto verde sobre a cónica, de modo a ver o que acontece nas diversas posições. E também pode controlar a animação no controlador ao fundo à esquerda.

Se considerarmos os pontos S, R, T, U como posições de um ponto variável da cónica, podemos considerar dois feixes projetivos de retas, um centrado em P relacionado com outro centrado em Q.
PS→A=PS.g e QS→B=QS.g
PR→E=PR.g e PS→D=PS.g
E como já tinhamos visto no Teorema de Steiner, há uma projetividade que transforma A em B e E em D.
Deslocando o ponto verde sobre a cónica, vê-se que quando este coincide com R as intersecções com g das retas correspondentes dos feixes por P e por Q estão em A e B; quando este ponto verde coincide com S as intersecções com g das retas correspondentes nos dois feixes por P e Q estão em E e D. Já quando o ponto verde (variável, claro) coincide com T ambas as retas correspondentes dos feixes projetivos por P e Q intersetam a reta g no mesmo ponto T e, como é óbvio, qando o ponto verde é U as retas correspondentes dos dois feixes projetivos intersetam g em U.
Podemos, pois, escrever que
há uma projetividade que transforma AETU em BDTU. E, como sabemos que quaisquer quatro pontos colineares podem ser permutados por uma projetividade, BDTU e DBUT são projetivos.
Em conclusão: como AETU projetivo com BDTU e BDTU projetivo com DBUT, também AETU é projetivo com DBUT, ou seja, podemos concluir que o par TU das intersecções de g com a cónica é um par da involução (AD)(BE) que depende unicamente do quadrângulo. O que quer dizer que o resultado é válido para todas as cónicas de que g seja secante ou tangente, isto é, determinando um par (T≠U) ou um ponto invariante (T=U) da involução.
Vale a pena ainda ver que, quando o R coincide com P, a reta RP é substituída pela tangente em P. Ou quando R=Q, a reta RQ é substituída pela tangente em Q ou quando S=Q, SB é a tangente em Q.…
Assim, podemos escrever que
das cónicas tangentes a uma reta num dado ponto e que passam por dois outros pontos dados, se intersetam uma outra reta (não passando por qualquer dos três pontos dados) fazem-no em pares de uma involução.

H. S. M. Coxeter, Projective Geometry, Springer. NY:1994

5.11.12

Teorema de Pascal

Na entrada Hexágono com diagonais concorrentes tem uma cónica inscrita ilustrava-se o resultado:
Teorema de Brianchon (1760-1854): Se os lados de um hexágno são tangentes a uma cónica, as suas três diagonais inicidem num só ponto, ou "se um hexágono circunscreve uma cónica então as suas diagonais são concorrentes"
obtido por dualização do Teorema de Pascal (1623-1662): Se pelos vértices de um hexágono passa uma cónica, os pares de lados opostos intersetam-se em 3 pontos que inicidem numa mesma reta, ou se um hexágono se inscreve numa cónica, os pares de lados opostos intersetam-se em pontos colineares.
Na ilustração que se segue, temos uma cónica e o hexágono de lados a, b, c, d, e, f nela inscrito (os vértices a.b, c.d, d.e, e.b, b.f e f.a são pontos da cónica) sendo, por isso, os pontos a.d, b.e, c.f colineares.

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).

Em "Essay pour les coniques" de 1640, Blaise Pascal enuncia este resultado como segue:"Se num plano MSQ, do ponto M partem as duas retas MK e MV, e do ponto S partem as duas retas SK, SV… e pelos pontos K e V passa a circunferência de um círculo cortando as retas MV, MK, SV, SV, SK nos pontos O, P, Q, N:
eu digo que as retas MS, No, PQ são da mesma ordem" no sentido de pertencerem a um mesmo feixe.

Vale a pena chamar a atenção para o facto de este Teorema de Pascal ser o recíproco do resultado ilustrado em Cónica por 5 pontos: Construção de Braikenbridge e Maclaurin

H. S. M. Coxeter, Projective Geometry, Springer. NY:1994
H. S. M. Coxeter, Introduction to Geometry. 2nd ed, Wiley Classics Library. NY:1989

2.11.12

Cónica por 5 pontos

Na entrada Cónica inscrita num pentágono ilustrava-se o resultado:
Se p, q, r são três retas não concorrentes e XYZ é um triângulo variável em que X toma posições sobre p, Y sobre q e Z sobre r enquanto XZ e YZ passam respetivamente por pontos B e A fixos (não necessariamente incidentes em p ou q) não colineares com p.q
então
o lado XY envolve uma cónica (tangente a p, q, A(p.r), B(q.r), e AB ou inscrita num pentágono).

Nessta entrada, apresentamos uma construção que ilustra o resultado dual desse, descoberto por Braikenbridge e Maclaurin, que se enuncia como segue:
Se P,Q, R são três pontos não colineares e xyz é um triângulo variável em que x passa por P, y passa por Q e z passa por R, enquanto x.z e y.z são pontos respetivamente de b e a fixas (não necessariamente a passar por P ou Q) não incidentes em PQ
então
o lugar geométrico dos pontos x.y é uma cónica (que passa por P, Q, a.PR, b.QR e a.b ou circunscrita a um pentágono)

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).
A animação pode ser controlada nos botões ao fundo à esquerda.
Esta construção sugere que os lados opostos de um hexágono inscrito numa cónica (de vértices P, Q, a.PR, b.QR, a.b, x.y) se intersetam em pontos colineares (b.x, a.y, PR.QR=c.d na figura).

H. S. M. Coxeter, Projective Geometry, Springer. NY:1994