Introdução à Geometria Projetiva Plana

1. Temos realizado construções dinâmicas (ou não) para ilustrar resultados (resolver problemas) da geometria elementar. Recorremos para isso à régua e ao compasso, no fundamental. Na geometria euclideana plana estudamos propriedades dos pontos e retas de um plano que se mantêm invariantes por transformações de semelhança. Começamos hoje a estudar problemas e resultados da geometria projetiva plana que é o estudo das propriedades que se mantêm invariantes pela projeção central.
   Enquanto que na geomeria euclideana plana utilizamos o compasso no transporte de segmentos, o que equivale a dizer que usamos a noção de comprimento de um segmento, na geometria projetiva não considera comprimentos.
   F. Enriques resumia o ponto de vista destas geometrias, dizendo que "o homem normal constituiu a geometria elementar" e que suprimindo "as mãos desse homem, impedindo-o de medir as distâncias, ele é conduzido à geometria projetiva".
   A geometria projetiva é a geometria do que se vê. Quando olhamos para os carris (paralelos) de um caminho de ferro, vemos que eles se encontram num ponto. Quando avançamos, o ponto em que se intersetam avança. O ponto de interseção afasta-se à medida que dele nos aproximamos. Na geometria projetiva não há retas paralelas, há retas que se juntam num ponto do infinito, a que também se chama ponto limite, ponto impróprio, ponto ideal, etc.
   
2. Para a geometria projetiva plana, as noções primitivas são as de ponto, reta e incidência. As palavras incidência, incidente, incide, incidem... são substituídas muito frequentemente por outras expressões. Em geral, não dizemos "o ponto P incide na reta r" e antes dizemos que "o ponto P pertence à reta r" ou "P está sobre r" ou "P é um ponto de r", como também não dizemos "a reta r incide no ponto A" e antes dizemos "r passa por A", etc. Para o plano onde trabalhamos, usamos uma letra grega α, por exemplo, para os pontos de α usamos letras maiúsculas A, B, C, ... e para as retas do plano α usamos a, b, c, ...r, s, t,... Claro que também designamos por AB a reta que incide nos pontos A e B. E se três pontos incidirem numa mesma reta, diremos que os pontos são colinerares. Quando duas retas incidem num só ponto comum, dizemos que as retas são concorrentes.
3. Primeiro esboço de uma axiomática.
   Consideremos um plano α de pontos P e uma família não vazia de subconjuntos próprios não vazios de α a que chamamos retas. Os axiomas de incidência que usamos, são:
   
   Axiomas de incidência
   

   Dois pontos distintos de α pertencem a uma só reta	Duas retas distintas têm um só ponto em comum
   Existem quatro pontos em α distintos dos quais quaisquer três deles não incidem numa mesma reta	Existem quatro retas distintas, das quais quaisquer três delas não incidem num mesmo ponto

   
   Reparemos que os enunciados dos dois axiomas de cada linha são tais que se num deles substituirmos ponto por reta e reta por ponto obtemos o outro. Dizemos, por isso, que qualquer um dos enunciados é dual do outro (o princípio da dualidade é fundamental na geometria projetiva plana).
   Observemos que, por haver uma família não vazia de retas do plano α, os axiomas da primeira linha garantem que,  no mínimo, há dois pontos e, como as retas são subconjuntos próprios do plano, este tem no mínimmo três pontos.
   Claro que pode ser pouco interessante, o estudo das propriedades de uma geometria tendo por base um conjunto de pontos que não seja infinito. À medida que forem sendo precisas, incluiremos novas noções óbvias: feixe de retas, triângulo, quadrângulo, hexágono, etc.

Referências:
Godeaux, L. As Geometrias, Col. Saber, Pub Europa-América, Lx: 1960
Samuel, P. Projective Geometry, Readings in Mathematics,Springer-Verlag. NY: 1988
Coxeter,H. The real Projective Plane, Cambridge University Press. Cambridge:1961
Coxeter, H. Introduction to Geometry, John Wiley and sons,INC, NY:1969
Coxeter, H. Projective Geometry, Springer-Verlago. NY:1994
Puig Adam, Curso de Geometria Métrica, Gráficas S.A. Rodrigues San Pedro. Madrid:1949
Izquierdo, F. Geometria Descriptiva Superior y Aplicada. Dossat. Madrid:1980
Berzolari L. Enciclopedia delle Matematiche Elementari e Complementi. Ulrico Hoepli. Mlano:1949
Ryos de Sousa, J. Lições de Geometria Projectiva. Porto Editora. Porto:

Pavimentações não periódicas por replicação de um ladrilho

Pavimentamos o plano, com ladrilhos todos congruentes não lado com lado, sem simetrias de translação e em que cada ladrilho pode ser dividido num certo número de ladrilhos iguais e semelhantes ao original.

Começamos por uma pavimentação com esfinges congruentes





seguida de uma com triângulos retângulos em que um cateto é dobro do outro e em que cada triângulo pode ser dividido em 5 congruentes a ele semelhantes.

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Deslocando os pontos a verde, em cada figura dinâmica, pode mudar o tamanho dos ladrilhos.

Pavimentações não periódicas

Pavimentamos o plano negro, com ladrilhos todos congruentes, mas sem simetrias de translação.

Começamos por uma pavimentação com triângulos isósceles congruentes e simetrias de reflexão e de rotação (D₁₂)





seguida de uma pavimentação com pentágonos côncavos equiláteros e simetrias de meia volta (C₂) (ferramenta de Mariana Sacchetti, rotações e reflexões).

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Deslocando os pontos a verde, em cada figura dinâmica, pode mudar o tamanho dos ladrilhos.

Problema de Hilbert e contra-exemplo.

Da lista de problemas apresentada por Hilbert durante o segundo Congresso II Congresso Internacional de Matemáticos que se realizou em 1900 (Paris) constava um problema sobre pavimentações:

Será verdade que qualquer pavimentação pura (monoedral, composta por polígonos congruentes) também admite que há uma simetria da pavimentação que leva de um ladrilho para qualquer outro?

Supostamente, Hilbert pensava que isso era verdade. Passados 35 anos alguém provou que não era verdade com um contra-exemplo em que o ladrilho era um polígono concavo.

E depois Kershner apresentou exemplos de pentágonos convexos que pavimentavam o plano e em que havia pares de ladrilhos, para os quais nenhuma simetria da pavimentação levava de um para o outro.

Apresenta-se a ilustração dinâmica de uma pavimentação em que deixamos as propriedades do ladrilho pentagonal (ferramenta geogebra e pavimentação feita por Mariana Sacchetti) e os quatro pentágonos de partida. Trata-se ainda de uma pavimentação periódica com translações associadas a dois vetores independentes).

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Pode deslocar o ponto verde e variar o tamanho dos ladrilhos.

Pavimentações e propriedades das suas simetrias

As pavimentações do plano construídas até agora são periódicas (admitindo simetrias de translação associadas a dois vetores independentes). Dada uma pavimentação regular ou semi-regular, ao seu grupo de simetrias correspondem pavimentações todas semelhantes a ela.
Destas pavimentações periódicas compostas por ladrilhos poligonais regulares em que cada lado de um polígono é comum a dois polígonos e cada vértice é vértice de pelo menos três polígonos, é interessante verificar como se relacionam ladrilhos, lados (ou arestas) e vértices.
Será que tomados dois vértices quaisquer de uma pavimentação, alguma das simetrias da pavimentação transforma um no outro? E que pavimentação terá simetria que transforma um lado noutro qualquer? Ou em que pavimentação haverá simetria que transforme um ladrilho noutro qualquer?
Será que tomados dois vértices quaisquer de uma pavimentação, alguma das simetrias da pavimentação transforma um no outro? E que pavimentação terá simetria que transforma um lado noutro qualquer? Ou em que pavimentação haverá simetria que transforme um ladrilho noutro qualquer?

Apresentam-se a seguir duas ilustrações dinâmicas. Na primeira, tomados quaisquer dois vértices (dois lados, dois ladrilhos), há uma simetria da pavimentação que leva de um para o outro.





Na segunda já não se pode verificar tanto até porque não há um só tipo de ladrilhos ou os ladrilhos não são todos congruentes. Mas nessa segunda ilustração tomados quaisquer dois vértices (dois lados, dois ladrilhos congruentes) uma das simetrias da pavimentação que faz corresponder a um deles o outro.

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Parece-nos imediato que estas propriedades se verificam em qualquer das 3 pavimentações regulares. Mas será que tal se passa nas semi-regulares?

1. Numa pavimentação semi-regular, dados dois vértices quaisquer há uma simetria da pavimentação que transforma um no outro daqueles vértices. (?)
   
2. Há uma única pavimentação semi-regular, em que há sempre uma simetria a transformar uma aresta em qualquer outra. Qual é?
   
3. Em qualquer pavimentação semi-regular, para quaisquer dois ladrilhos congruentes há uma simetria da pavimentação que transforme um no outro?
   

Ilustrações de todas as pavimentações regulares e semi-regulares

Publicamos ilustrações estáticas das pavimentações regulares e semi-regulares, feitas a partir das construções dinâmicas que foram sendo apresentadas nas diversas entradas sobre pavimentações.

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Pavimentações regulares

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3.3.3.3.3.3

4.4.4.4

6.6.6

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Pavimentações semi-regulares ou arquimedianas

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3.3.3.3.6	3.3.3.4.4	3.3.4.3.4
3.6.3.6	3.4.6.4	3.12.12
4.6.12	4.8.8

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Resumindo:
A menos de semelhanças, há exatamente onze pavimentações cujos ladrilhos são polígonos regulares e em que todos os vértices são do mesmo tipo. (Teorema de Kepler).

As pavimentações do plano construídas até agora são periódicas (admitindo simetrias de translação associadas a dois vetores independentes). Dada uma pavimentação regular ou semi-regular, ao seu grupo de simetrias correspondem pavimentações todas semelhantes a ela.

Nota: Seguimos Martin, G. Transformation Geometry: and introduction to symmetry. Springer-Verlag, N.Y: 1982, sem grandes preocupações de terminologia. As mesmas (ou parte delas) construções estão ilustradas no livro de Eduardo Veloso (Geometria) e na brochura de "Geometria e Medida no Ensino Básico" de Ana Breda (e outros) editada pela DGIDC/ME, em 2011. Os professores seguirão a terminologia dessa brochura, como é óbvio.

Pavimentações do plano com ladrilhos regulares: quadrados e octógonos, com vértices da mesma espécie

Nesta entrada, apresentamos pavimentações com ladrilhos regulares: quadrangulares e octangulares, sendo os vértices da espécie 4.8.8 ou, dito de outro modo, cada vértice é comum a um quadrado e a dois octógonos (1x90+2x135=360)

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Deslocando os pontos a verde, em cada figura dinâmica, pode mudar o tamanho dos ladrilhos.

Pavimentações do plano com triângulos quadrados e hexágonos regulares e vértices todos da mesma espécie

Nesta entrada, apresentamos pavimentações com ladrilhos regulares, ambas com ladrilhos triangulares, quadrangulares e hexagonais. Cada vértice é vértice de um triângulo, de dois quadrado e de um hexágono (1x60+2x90+1x120=360).

Da primeira, todos os vértices são da mesma espécie e, vistos por uma determinada ordem circular, os polígonos aparecem sempre 3.4.6.4 (são do mesmo tipo).





Da segunda, todos os vértices são da mesma espécie, mas, vistos por uma determinada ordem circular, uns são 3.4.4.6 e outros 3.4.6.4. Neste caso, todos os vértices são da mesma espécie, não sendo do mesmo tipo.

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Deslocando os pontos a verde, em cada figura dinâmica, pode mudar o tamanho dos ladrilhos.

Pavimentações do plano com triângulos, quadrados, hexágonos e dodecágonos com vértice da mesma espécie

Nesta entrada, apresentamos pavimentações de ladrilhos regulares, uma com ladrilhos triangulares e dodecagonais e outra com ladrilhos quadrangulares, hexagonais e dodecagonais regulares e em que dois ladrilhos ou não se intersetam ou quando se intersetam o fazem num vértice comum ou num lado comum.

Na primeira das pavimentações, cada vértice é vértice de um triângulo e de dois dodecágonos (1x60+2x150=360) ou seja todos os vértices são da espécie 3.12.12.





Na segunda, todos os vértices são da espécie 4.6.12, o que quer dizer que, ligados a cada vértice há um quadrado, um hexágono e um dodecágono(1x90+1x120+1x150 =360).

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Deslocando os pontos a verde, em cada figura dinâmica, pode mudar o tamanho dos ladrilhos.

Pavimentações do plano por triângulos e quadrados com vértices da mesma espécie

Apresentamos, nesta entrada, pavimentações com ladrilhos triangulares e quadrilaterais regulares e em que dois ladrilhos ou não se intersetam ou quando se intersetam o fazem num vértice comum ou num lado comum. Nestas pavimentações, cada vértice é vértice de três triângulos e de dois quadrados (3x60+2x90=360).

Na primeira, todos os vértices são da espécie 3.3.3.4.4.





Distingue-se a segunda da primeira, vendo que todos os vértices são da espécie 3.3.4.3.4, o que se pode perceber observando as ilustrações.

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Deslocando os pontos a verde, em cada figura dinâmica, pode mudar o tamanho dos ladrilhos.

Pavimentações do plano por triângulos e hexágonos regulares com vértices da mesma espécie

Apresentamos, nesta entrada, pavimentações com ladrilhos regulares, triangulares e hexágonos e em que dois ladrilhos ou não se intersetam ou quando se intersetam o fazem num vértice comum ou num lado comum.

Na primeira destas pavimentações, cada vértice é vértice de dois triângulos e de dois hexágonos, e é por isso que dizemos que todos os vértices são da mesma espécie 3.6.3.6 (2x60+2x120=360).





Na segunda, cada vértice é vértice de 4 triângulos e 1 hexágono, sendo todos os vértices da mesma espécie 3.3.3.3.6 (4x60+1x120=360).

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Deslocando os pontos a verde, em cada figura dinâmica, pode mudar o tamanho dos ladrilhos.