Outra demonstração do Teorema de Pitágoras,...

...usando decomposições diferentes de uma mesma figura.
Passo a passo, pela ordem, clicando nos quadradinhos:


(vista em "Guzmán. Mirar y Ver. Nivola. Tres Cantos:2004")

Outra demonstração do Teorema de Pitágoras

Teorema de Pitágoras - outra demonstração

A anterior entrada- demonstração do teorema de Pitágoras - sugeria uma demonstração usando transformações de figuras em figuras equivalentes.
Na construção que se segue, pretendemos provar que a área do quadrado [ABHG], c², é igual à soma das áreas dos quadrados [BCML], a², e [AJIC], b². Para isso, decompomos o quadrado em dois rectângulos, cada um deles equivalente a cada um dos quadrados.

A altura que divide a hipotenusa e o Teorema de Pitágoras

No 8º ano de escolaridade, a demonstração a fazer é a do Teorema de Pitágoras. Há muitas demonstrações, usando composição e decomposição de figuras, equivalência de figuras, álgebra,...
Uma das demonstrações é a que utiliza semelhança de triângulos e a divisão da hipotenusa pela altura respectiva e que pode ser retomada de muitos modos, sendo interessante seguir as transformações de cada quadrado (sobre cada cateto) em figuras equivalente até ser o rectângulo correspondente como parte do quadrado (sobre a hipotenusa).

Triângulo retângulo de lados em progressão geométrica

Na construção que se segue, tomámos AB=c, variável, e construímos o triângulo tomando para lados AC=b=c.√Φ e BC=a=c/√Φ.
O triângulo assim obtido é um triângulo retângulo em B.




Esta família de triângulos retângulos é a única de lados em progressão geométrica.
De facto,
Sendo ABC um triângulo retângulo cujos lados meçam c/r, c, c.r (progressão geométrica de razão r), temos:
(c/r)² + c² = (cr)² ou (r²)² - r² - 1 = 0.
Ora a raiz positiva desta equação do 2º grau em r² é (1 + √5)/2, ou seja, o número de ouro.
Concluíndo: se num triângulo retângulo os lados estão em progressão geométrica, o quadrado da razão da progressão é "o número de ouro".

Mais outro triângulo rectângulo com razões áureas

Estamos a referir-nos ao triângulo de lados 1, 2, √5 que esteve presente em todas as construções que envolveram a razão áurea. No triângulo retângulo ABC, o lado AB tem o dobro do comprimento de BC.





Todos os triângulos podem ser decompostos em 4 triângulos geometricamente iguais e semelhantes ao triângulo dado (basta unir os pontos médios dos lados).
O triângulo a que nos estamos a referir tem uma característica especial: é o único triângulo passível de ser decomposto em 5 triângulos geometricamente iguais e semelhantes ao triângulo dado.

Outro triângulo rectângulo com razões áureas

Existem outros triângulos rectângulos que por conterem (ou esconderem) razões áureas são também muitas vezes apelidados de ouro.
Um desses triângulos é o triângulo de 3, 4 e 5





BF é a bissectriz do ângulo B que intersecta o lado AC em O.
D e F são os pontos de intersecção da bissectriz com o círculo de centro O e raio AO.
A’ é o ponto de tangência do círculo (de centro O e raio AO) com a hipotenusa. E é a intersecção da corda [AA’] com a bissectriz.
Então:
• D divide [BF] em média e extrema razão
• OE/ED= Φ/2
Podemos ainda referir que a razão entre a hipotenusa e o cateto menor é a razão entre dois números consecutivos da sequência de Fibonacci (5/3) e considerá-la uma aproximação (grosseira) do número de ouro