Usando rotações

Dadas duas rectas a e b e um ponto P não incidente em qualquer delas, determinar um quadrado com vértice em P e sobre cada recta a e b um dos dois vértices adjacentes a P
Pode seguir a nossa resolução pelos passos da construção que apresentamos a seguir.

Tomamos um ponto qualquer de a, A'.
O quadrado de lado A'P tem um vértice sobre a.
O vértice oposto a A' e adjacente a P pode obter-se rodando A' de um quarto de volta em torno de P.
Esta rotação leva a para a recta a' a ela perpendicular que intersecta b num ponto B.
Rodando (em sentido contrário ao de A' para B') de um quarto de volta em torno de P, a' vai para a e B vai para A sobre a.
Claro que há mais uma solução ..... Faça variar a ou b até a e b serem perpendiculares.
O que acontece nesse caso?






Puig Adam sugere que se resolvam, pelo mesmo processo, os seguintes problemas:

1. Determinar um triângulo com os três vértices sobre três paralelas dadas (já resolvido numa das entradas) ou sobre três circunferências concêntricas


2. Inscrever um triângulo equilátero num quadrado de modo que tenham um vértice em comum


3. Inscrever num paralelogramo um rectângulo cujas diagonais façam um dado ângulo

Usando reflexões (II)

Construir um triângulo de que se conhecem dois lados BC e AC e a diferença dos ãngulos a eles opostos é um problema que se resolve se nos lembrarmos que a mediatriz do lado AB em falta é eixo de uma reflexão que leva de A para B.
Se designarmos por C' a imagem de C por essa reflexão, temos um trapézio isósceles ACC'B, de diagonais iguais AC'=BC. Também sabemos que, relativamente aos ângulos, C'AC=C'BC=A-B. Conhecido AC, e tomado um A, determinamos C. Conhecido A-B =C'AC e sabendo que é dado BC (=AC'), determinamos C' a partir de A.
Isto mesmo pode seguir, passo a passo, na construção dinâmica que apresentamos a seguir.

Usando meia volta em torno de um ponto médio

Para resolver o problema
“Construir um quadrilátero de que são dados os comprimentos dos lados e o comprimento de um segmento que une os pontos médios de dois dos lados opostos”

Observemos um quadrilátero ABCD de que conhecemos os comprimentos AB, BC, CD, DA dos lados e ainda o comprimento do segmento EF em que E e F são os pontos médios de AB e CD respetivamente. Consideremos a rotação de meia volta em torno de F (ou reflexão relativamente a F) que transforma [ABCD] em [B'A'DC], como mostra a figura ao lado. O ponto E médio de AB é transformado em E' ponto médio de A'B' sendo F'= F ponto médio de CD. Os pontos médios de AB', A'B, e EE' são colineares sobre uma reta paralela a AB (MF), sendo MF=BE=AE=AB/2. F é intersecçao de duas circunferências: (C, CD/2).(M, AB/2). Podemos, portanto, seguir os seguintes passos para a resolução do problema: Construimos o triângulo BCA’ cujos lados são conhecidos: BC é dado, CA’ = AD, BA’ = 2 EF. O ponto F está a uma distância EB do ponto M médio do segmento BA’ e a uma distância CD/2 do ponto C; é. pois, a intersecção de duas circunferências. Obtido F, temos o vértice D. Sobre a paralela a CA’ por D, tomamos um ponto cuja distância a D seja igual a AD. Temos assim o quadrilátero construído de acordo com os dados.

A construção que se segue, pode ser visitada passo a passo. No caso desenhado agora (na reconstrução) começámos pelo ponto A (livre no plano, que pode deslocar...) e um ponto D livre sobre a circunferência (A,DA) de centro em A e raio AD. De resto, o processo é o mesmo do acima descrito: B' é (A, 2EF).(D,BC) já que B'D= BC e ....

Problema para resolver

Considere os cinco comprimentos (dados no quadro dinâmico que se segue) como comprimentos dos lados do quadrilátero ABCD e do segmento que une os pontos médios E e F dos lados AB e CD. Usando os resultados referidos na entrada anterior, construa o quadrilátero ABCD.

Usando translações

Há problemas cuja solução se pode obter recorrendo à transformação por translação. É o caso do seguinte, proposto por Puig Adam:
“Construir um quadrilátero de que são dados os comprimentos dos lados e o comprimento de um segmento que une os pontos médios de dois dos lados opostos”.

Propomos que siga os passos previstos na construção que se segue, observe as figuras construídas (por translação) a partir do quadrilátero original e as suas propriedades. O conhecimento dessas propriedades e relações entre os seus elementos permite resolver o problema proposto.

Das medianas ao triângulo, com translações

No seu Curso de Geometria Métrica para engenheiros, existente na nossa Escola José Estêvão, Puig Adam apresenta alguns exercícios como exemplos de aplicação de transformações geométricas.
Um deles consiste em construir um triângulo de que se conhecem as medianas.
Pode ser um problema simples. Ou não.

Relativamente a esse exercício (que nos lembramos de ter tentado resolver noutras circunstâncias), juntamos aquilo que lemos ou vimos como sugestões do autor.
Da construção seguinte recomendamos que siga os passos pela ordem assinalada, procurando verificar todas as propriedades e relações dos elementos dos triângulos HIJ e AKH com os elementos do triãngulo ABC.



O triângulo HIJ, que é mostrado no primeiro passo, tem os lados paralelos aos lados de ABC (paralelas tiradas por cada vértice oposto a cada lado) com comprimento duplo, sendo tal que os vértices do primeiro ABC são pontos médios dos lados de HIJ e as medianas deste (HA, IB e JC) contêm as medianas de ABC (respectivamente AD, BE e CF) sendo AH=2AD, IB=2BE e JC=2CF.
O segundo passo mostra-nos o triângulo AKH cujos lados são os dobros das medianas de ABC (AH, IB, e JC, como pode ver-se facilmente - lados opostos de paralelogramos: AH , AK//BI e KH//CJ). Este triângulo tem o seu baricentro em B e é, do mesmo modo, imediato verificar que AB, BK e BH têm comprimentos iguais aos lados AB, BC e AC.
Fica, deste modo, claro que um triângulo cujos lados sejam iguais a dobros das medianas dadas de um triângulo ABC, fornecem os comprimentos dos lados de ABC.

Verá que isso resolve o problema seguinte:

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Determinar um triângulo ABC de que se conhecem as medianas

Pode clicar sobre a área de trabalho seguinte para tentar determinar o triângulo de vértice A que tem m₁,m₂ e m₃. Pode depois comparar com a nossa proposta de solução. Ou pode ver os dois passos da nossa solução à luz dos resultados vistos com a construção anterior.





A nossa proposta de resolução do exercício proposto, consiste na construção do triângulo AKH com lados iguais aos dobros das medianas dadas e determinando B como centro de garvidade de AKH e C como quarto vértice do paralelogramo ABKH. Só isso.

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Tente depois o seguinte
Construir um triãngulo de que se conhecem dois lados e a mediana que passa pela intersecção dos dois.
também proposto por Puig Adam.

Puig Adam - método das transformações para resolução de problemas

Nas últimas entradas seguimos a terminologia de Lucien Godeaux. De forma diferente, Puig Adam, no seu Curso de Gometria Métrica já aqui referido várias vezes, chama geometria métrica ao que Godeaux classifica como geometria euclidiana. Escreve Puig Adam que "as propriedades da geometria métrica são invariantes para os grupos dos movimentos (deslocamentos para Godeaux) e das semelhanças".
Refere que as propriedades "da igualdade entre elementos, entre suas somas ou diferenças, entre as suas razões, entre as suas medidas e entre produtos de medidas, etc são as que permanecem invariantes ao aplicar à figura qualquer movimento ou ao transformar a figura por homotetia ou semelhança"
Refere ainda que " ao estudar a inversão ...também se ocupou preferencialmente das figuras e propriedades que relativamente a ela se mantêm invariantes".
Para a seguir escrever que" esta ideia de grupo de transformações e de propriedade invariante , é que permitiu ao geómetra alemão Klein sistematizar e definir elegantemente as diferentes geometrias como conjuntos de propriedades invariantes das figuras relativamente a cada grupo de transformações característico de cada uma delas, acrescentando que " esta ideia não só se reveste de transcendente importância teórica" como " permitiu descobrir analogias entre grandes grupos de problemas que apareciam sem qualquer conexão na geometria clássica grega e aos quais hoje se podem aplicar-se métodos gerais usando transformações que... ajudam o engenho dos solucionadores".

E esclarece a ideia geral para a aplicação dos novos métodos: " Obervar se é mais simples resolver o problema transformando a figura, ou parte dela, por translação, rotação, reflexão, homotetia, semelhança ou inversão, constrói-se sobre a figura transformada e obtido o resultado, aplica-se a transformação inversa para voltar à figura primitiva. A classe das relações e de dados que definem a figura sugerirá, com frequência, o género de transformação conveniente para que, deixando invariantes estas relações, transformará os dados ou a figura em outra de mais fácil determinação "

Com esta entrada, mostramos que não são determinantes as classificações e que elas variam com o tempo e os autores. O que é importante é a compreensão do que sejam as transformações geométricas e as propriedades invariantes das figuras para cada uma ou algum conjunto delas e compostas. À maneira de Puig Adam, achamos que os exemplos de exercícios são mais esclarecedores que as exposições genéricas que se possam dar. Já apresentámos alguns exemplos em anteriores entradas.

Tanto Puig Adam como Godeaux e a generalidade dos autores utilizaram a palavra simetria para se referirem à transformação geométrica agora nomeada como reflexão.

Geometria Euclidiana

Até agora, temos andado a ver alguns definições e resultados e a resolver alguns problemas de geometria métrica. Como vimos o conjunto dos deslocamentos do plano (translações, rotações, reflexões e reflexões deslizantes) munidos do produto (composição de transformações) constitui um grupo a que chamámos o grupos principal da geometria métrica que se pode definir como o conjunto das propriedades das figuras que não são alteradas quando se submetem a translações, rotações e reflexões.

No entanto, a Geometria Euclidiana não se limita às propriedades das figuras congruentes (iguais por sobreposição), também estuda as propriedades das figuras semelhantes.

Por isso, o grupo principal da geometria euclidiana contém o grupo principal da geometria métrica e uma nova transformação geométrica a que chamamos homotetia de centro O e razão k que faz corresponder a cada ponto M do plano um ponto M’ situado sobre a recta OM e tal que OM’=k.OM. Esta definição de homotetia é comum ao plano e ao espaço.

Dois triângulos são semelhantes se tiverem os ângulos iguais cada um a cada um e a razão entre os lados opostos aos ângulos iguais for constante.
Vejamos como transformar (geometricamente) um triângulo noutro semelhante. Clicando duas vezes sobre a área de trabalho fica a trabalhar com todas as ferramentas do GeoGebra e pode procurar os deslocamentos e a homotetia que levam de A'B'C' para ABC. Ou pode ver, usando os botões apropriados pela ordem indicada, as nossas propostas.





Tomámos dois triângulos semelhantes [ABC] e (A'B'C', sendo os ângulos A, B e C respectivamente iguais aos ângulos A', B' C'. Por meio de deslocamentos do plano , podemos levar de [A'B'C'] a uma nova posição [A''B''C''] tal que A' venha coincidir com A, B' com um ponto B'' da recta AB e C' com um ponto C'' da recta AC. Os triângulos [ABC] e [AB''C''] são semelhantes e os lados BC e B''C'' são paralelos. AB''/AB=AC''/AC=k. Podemos passar do triângulo AB''C'' para o triângulo [ABC] fazendo corresponder a cada ponto M'' do plano um ponto M situado sobre a recta AM'' e tal que AM''=k.AM que transforma B'' em B e C'' em C.

O conjunto dos deslocamentos (isometrias) e das homotetias do espaço constituem o grupo das semelhanças do espaço que é o grupo principal para a geometria euclidiana do plano (imediatamente generalizada ao espaço). A geometria euclidiana consiste no estudo das propriedades das figuras que ficam invariantes relativamente às transformações deste grupo.

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(seguindo Lucien Godeaux, As Geometrias, (Que sais je? PUF para a Col Saber da PEA com trad. de Silva Paulo)