Eixos das elipses de Steiner

As elipses de Steiner têm eixos sobre as mesmas rectas. A recta do eixo secundário (menor) é bissectriz comum aos ângulos L_eGS_t e OGT_y.



<[A.A.F.]

Ponto de Tarry

No triângulo ABC , consideremos o diâmetro do circuncírculo que contem o ponto St de Steiner. O outro extremo do diâmetro é o chamado “ponto de Tarry”.


[A.A.F.]
No triângulo ABC , desenhemos a cevianas referentes ao ponto Ty de Tarry. Cada círculo de Neuberg passa por um vértice e tem centro na intersecção da ceviana que passa por esse vértice com a mediariz do lado definido pelos outros dois vértices.

Sobre as elipses de Steiner

A elipse de Steiner circunscrita ao triângulo ABC é a elipse circunscrita de área mínima. Também chamamos elipse de Steiner inscrita à elipse inscrita de área máxima. Ambas são centradas em G e os pontos de tangência da elipse inscrita são os pontos médios dos lados do triângulo.



[A.A.F.]

Ponto de Steiner e recta de Euler

Sejam P e Q os pontos em que a recta de Euler do triângulo ABC intersecta o circuncírculo; H é o ortocentro e Re o retrocentro (conjugado isotómico de H); St é o ponto de Steiner. As três rectas StP, StQ, HRe formam um triângulo rectângulo com o ângulo recto em St.
A elipse circunscrita ao triângulo ABC contém também os vértices do triângulo StMN.
É a chamada "elipse circunscrita de Steiner".
Note-se que os simétricos A', B', C' respectivamente de A, B, C são também pontos da elipse; ou seja, o centro da elipse é o baricentro G. De entre as elipses circunscritas, esta goza da propriedade de ter a área mínima.


[A.A.F.]

A recta de Simson a partir do ponto de Steiner

No triângulo ABC tomemos o ponto St e tracemos a sua recta de Simson (definida pelas projecções de de St sobre os lados do triângulo). Determinemos os pontos Br₁ e Br₂ de Brocard e a recta por eles definida. Verifica-se que as rectas são perpendiculares. Logo a recta de Simson de St e a recta de Brocard (definida por O e Le) são paralelas.


[A.A.F.]

Ponto de Steiner e Recta de Lemoine

No triângulo ABC tomemos o ponto Le de Lemoine e determinemos a sua polar trilinear rLe (a verde cheio). Traçando as três isogonais da recta de Lemoine (uma por vértice do triângulo) verifica-se que elas se intersectam no ponto de Steiner que é o mesmo que dizer que o ponto isogonal do ponto do infinito da recta de Lemoine é o ponto de Steiner.
Traçando uma paralela (a verde tracejado) à recta de Lemoine por qualquer um dos vértices – seja, por exemplo, o vértice A - a sua isogonal - simétrica dessa paralela em relação à bissectriz (amarelo tracejado) - é uma recta (a verde tracejado) que passa pelo ponto St de Steiner.



[A.A.F.]

Da polar trilinear para o pólo

A pedido de um leitor anónimo, apresentamos a resposta à pergunta:
Dada uma recta e um triângulo de que ela é polar trilinear, como se determina o pólo correspondente?



[A.A.M.] reconstrutor de serviço

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Consideramos que a resposta está na entrada Polar trilinear de 9 de Dezembro de 2008. Mas aqui fica tratado o problema posto.

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Na construção dinâmica, que pode seguir por etapas, ao deslizar o cursor ao fundo da janela, parte-se da polar p e para determinar o pólo P respectivo, seguem-se os passos:

1. Determinam-se os pontos de intersecção da recta p com os lados do triângulo ABC - P'_a, P'_b e P'_c.


2. O vértice P_c do triângulo ceviano de ABC que procuramos separa harmonicamente os pontos A, B e P'_c e que é colinear com os pontos C e Q, este último a separar harmonicamente os pontos P'_a, P'_b e P'_c. A determinação de P_c ou de Q faz-se pela construção de um quadrilátero completo de que CQ é diagonal


3. Determinado P_c, imediatamente se determinam P_a e P_b tirando as rectas P'_a P_c e P'_bP_c que intersectam os lados de ABC em P_a e P_b. A recta P'_cP_a passa por P_b e, por isso P_aP_bP_c determinam um triângulo inscrito em ABC com lados a intersectar p nos pontos de intersecção desta com o triângulo original.


4. As cevianas AP_a, BP_{b e CPc intersectam-se no pólo P, correspondente à polar trilinear p}

Recta de Steiner

Tomemos um ponto P qualquer sobre o circuncírculo; os simétricos Pa, Pb, Pc de P em relação a cada lado são colineares; se P for o ponto de Steiner, a recta obtida é a recta de Steiner.


Na construção dinâmica, que se segue, pode verificar os resultados para qualquer P do circuncírculo e pode deslocá-lo até ser coincidente com o Ponto de Steiner e a recta dos simétricos de P ser a recta de Steiner. Também pode deslocar os vértices do triângulo.


[AAF]