[A.A.F.]
29.5.08
Tangentes a cónicas - casos da elipse e da hipérbole
Em anteriores artigos, abordámos a determinação de tangentes a cónicas segundo diferentes perspectivas. A Mariana tem andado a preparar (e preparou) uma animação que permita ver como é que podemos generalizar para a elipse e para a hipérbole o procedimento utilizado para tirar por um ponto P uma tangente a uma circunferência. Nesta animação, a a Mariana utiliza várias das iniciativas anteriores - determinação de cónicas como envolvente de famílias de rectas obtidas a partir de uma circunferência, tangente a uma circunferência, etc. Falta ainda completar esta unificação, apresentando a determinação da tangente a uma parábola.
[A.A.F.]
[A.A.F.]
20.5.08
Circunferência, elipse e calculadora gráfica
Quando, sem cuidados, escolhemos DRAW CIRCLE no menu principal de uma calculadora gráfica, como se pode ver nas figuras seguintes, obtemos uma elipse
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Tal se deve ao facto de a calculadora assumir por defeito um rectângulo de visualização (ZOOM STANDARD) correspondente uma janela [-10;10] por [-10;10], o que significa que a escala utilizada no eixo dos YY é diferente da escala usada no eixo dos XX
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Para obtermos a circunferência que queremos, devemos partir de um referencial monométrico que é o mesmo que escolher ZOOMSQUARE, em vez de ZOOMSTANDARD,
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De facto, com o ZOOMSTANDARD, em vez de uma circunferência obtemos uma elipse afim
Na construção animada, a afinidade em causa tem eixo AB e transforma D em F (P em P'). [AB] mantém-se invariante e [CD] é transformado em [EF].
Tal se deve ao facto de a calculadora assumir por defeito um rectângulo de visualização (ZOOM STANDARD) correspondente uma janela [-10;10] por [-10;10], o que significa que a escala utilizada no eixo dos YY é diferente da escala usada no eixo dos XX
Para obtermos a circunferência que queremos, devemos partir de um referencial monométrico que é o mesmo que escolher ZOOMSQUARE, em vez de ZOOMSTANDARD,
De facto, com o ZOOMSTANDARD, em vez de uma circunferência obtemos uma elipse afim
Na construção animada, a afinidade em causa tem eixo AB e transforma D em F (P em P'). [AB] mantém-se invariante e [CD] é transformado em [EF].
19.5.08
Tangentes a uma elipse tiradas por um ponto
Exercício Interactivo
Tirar por um ponto P as tangentes a uma elipse definida pelos seus eixos.
Tirar por um ponto P as tangentes a uma elipse definida pelos seus eixos.
Aplicação da afinidade( II)
Aplicação da afinidade à determinação de tangentes a uma elipse
O processo é semelhante ao utilizado para a intersecção de uma recta e uma elipse:
- Toma-se um dos diâmetros conjugados, por exemplo [AB], para eixo de afinidade, desenha-se a circunferência de diâmetro [AB] e toma-se CC' para direcção de afinidade.
- Determinemos o transformado do ponto P. Unamos P com um ponto de que conheçamos a imagem, por exemplo, D; a recta PD é transformada em KD'; o ponto P' é a intersecção desta recta com uma paralela a CC' por P.
- Por P´tracemos as tangentes à circunferência; uma delas é a recta P'T'; vamos determinar o respectivo original. P' é o transformado de P; o ponto L sobre o eixo é autotransformado. Logo uma das tangentes à elipse é a recta PL. (O mesmo para a outra)
- Para obter o ponto T de tangência, determinamos o original de T', traçando uma paralela a CC'.
O processo é semelhante ao utilizado para a intersecção de uma recta e uma elipse:
- Toma-se um dos diâmetros conjugados, por exemplo [AB], para eixo de afinidade, desenha-se a circunferência de diâmetro [AB] e toma-se CC' para direcção de afinidade.
- Determinemos o transformado do ponto P. Unamos P com um ponto de que conheçamos a imagem, por exemplo, D; a recta PD é transformada em KD'; o ponto P' é a intersecção desta recta com uma paralela a CC' por P.
- Por P´tracemos as tangentes à circunferência; uma delas é a recta P'T'; vamos determinar o respectivo original. P' é o transformado de P; o ponto L sobre o eixo é autotransformado. Logo uma das tangentes à elipse é a recta PL. (O mesmo para a outra)
- Para obter o ponto T de tangência, determinamos o original de T', traçando uma paralela a CC'.
12.5.08
Aplicação da afinidade
Aplicação à determinação dos pontos de intersecção de uma recta e uma elipse definida por um par de diâmetros conjugados
Seja a elipse definida pelos diâmetros conjugados [AB] e [CD]; determinar os pontos de intersecção com a recta r (supondo que não temos a elipse traçada).
[A.A.F.]
Traçámos a circunferência de diâmetro [AB] e o diâmetro perpendicular [OC'] . Definimos a afinidade de eixo AB que transforma C em C' (a direcção da afinidade é, pois, a recta CC'). Nessa afinidade: - determinámos a imagem r' de r (L, por pertencer ao eixo, é elemento de r'; K é transformado em K'); - determinámos as intersecções P' e Q' de r' com a circunferência. Os originais P e Q de P' e Q' são as intersecções de r e a elipse.
[A.A.F.]
Traçámos a circunferência de diâmetro [AB] e o diâmetro perpendicular [OC'] . Definimos a afinidade de eixo AB que transforma C em C' (a direcção da afinidade é, pois, a recta CC'). Nessa afinidade: - determinámos a imagem r' de r (L, por pertencer ao eixo, é elemento de r'; K é transformado em K'); - determinámos as intersecções P' e Q' de r' com a circunferência. Os originais P e Q de P' e Q' são as intersecções de r e a elipse.
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