Homologia e triângulo com pontos na recta limmite

Exercício interactivo

Pela homologia de centro O, eixo e e recta limite l, determinar a imagem do triângulo [ABC] que é intersectado pela recta limite em J e K.

Homologia e rectas com ponto comum sobre a recta limite

Exercício interactivo

Na homologia definida pelo centro O, eixo e, recta limite l, determine as rectas homólogas das rectas r, e s, que se intersectam no ponto P de l.

Homólogo de um segmento

Exercício interactivo


Na homologia definida pelos centro O, eixo e e recta limite l, determine o homólogo do segmento [AB].

Teorema de Desargues e homologia

No seu Curso de Geometria Projectiva, Jayme Rios de Sousa, enuncia o Teorema de Desargues: “Se dois triângulos [ABC] e [A’B’C’], sem elementos comuns, estiverem referidos entre si de modo que as rectas AA’, BB’, CC’ têm um ponto comum O, então as rectas que contém os lados AB e A’B’, AC e A’C’, BC e B’C’ intersectam-se em pontos colineares.”

E reciprocamente.
Claro que estes triângulos são homológicos: o ponto comum é o centro de homologia e a recta sobre a qual se intersectam os lados correspondentes, é o eixo e de homologia.



[A.A.M.]

Paralelismo e homólogos de pontos no infinito

Há duas rectas que desempenham um papel importante em questões de homologia: as rectas limite, l e l’:
- a recta limite l é a recta original que tem como imagem a recta do infinito (assim, se as rectas r e s se intersectam num ponto de l, as suas imagens r’ e s’ serão paralelas) ;
- a recta limite l’ é a imagem da recta do infinito (assim, se as rectas r e s são paralelas, as suas imagens r’ e s’ intersectam-se sobre l’).
As rectas limite, como rectas homólogas que são, intersectam-se num ponto do eixo que, atendendo à definição, é ponto impróprio; logo as rectas limite são paralelas ao eixo.

Vejamos como determinar as rectas limite, supondo conhecidos o centro, o eixo e um par de pontos homólogos (A, A’); tomemos um ponto E sobre o eixo e tracemos as rectas AE e A’E;
- tiremos por O uma paralela à recta A’E - a sua intersecção P com a recta AE’ é um ponto de l ;
- tiremos por O uma paralela à recta AE - a sua intersecção Q com a recta AE é um ponto de l’.
Notemos que [OPEQ] é um paralelogramo; então OP = EQ e concluímos:
a distância do centro à recta limite l é igual à distância do eixo à recta limite l’.

Um centro para uma homologia

[Exercício interactivo:]

Determinar o centro O da homologia de eixo e que transforma A, B e C em pontos das rectas a, b e c.


[A.A.M.]

Reconstruir uma homologia a partir de originais e seus homólogos

[Exercício interactivo]

Determinar o eixo e o centro da homologia que transforma um triângulo noutro (dados).



[A.A.M.]

Reconstruir um triâgulo a partir do homólogo

[Exercício interactivo]
Na homologia de centro O e eixo e, é dado o triângulo [A'B'C'] e o transformado C de C'. Determine A e B.

Determinar homólogo de um ponto

> [Exercício interactivo:]
Na homologia de centro O e eixo e, é dado o par de pontos homólogos (A,A'). Determine o homólogo do original B.


Uma homologia de centro O e eixo e, fica determinada se conhecermos um ponto e o seu homólogo. Podemos verificar isso, se sabendo as propriedades da homologia, possamos determinar o homólogo de um qualquer ponto B. Pode fazer isso com as ferramentas disponíveis.
E verificar como é, passo a passo, na construção que se apresenta para ilustrar a resolução desse problema.


[A.A.M.]