Elipse: determinação de pontos

Os vértices do eixo maior e os focos de uma elipse definem univocamente todos os seus pontos. Em desenho geométrico é sempre apresentado o seguinte processo de determinação de pontos:




Tomado um ponto X qualquer de [V₁V₂], são pontos da elipse os pontos de intersecção da circunferência de centro em F₁ e raio |XV₁| com a circunferência de centro em F₂ e raio |XV₂|.

Há outras formas de determinar pontos da elipse já apresentados neste lugar geométrico. Um dos mais interessantes, recorre às duas circunferências cujos diâmetros são os eixos da elipse. Tomado um raio que corte em Y o círculo menor e em X o círculo maior é ponto da elipse aquele que tem ordenada (?) de Y e abcissa(?) de X.

Pode ver ilustração destas construções de pontos em duplo andamento

Elipse: dos focos e da tangente aos vertices

De uma elipse, conhecemos os focos e uma tangente. Propomos que determine os vértices do eixo menor.

Exercício interactivo:

Elipse: um ponto, um vértice e um foco -> outro foco

De uma elipse, conhecemos um ponto, um vértice do eixo menor e um foco. Propomos que determine o outro foco.

Exercício interactivo:

Elipse: de uma tangente e vértices aos focos

De uma elipse, conhecemos os vértices do eixo menor e uma tangente. Propomos que determine os focos.

Exercício interactivo:

Elipse: de uma tangente e vértices aos focos

De uma elipse, conhecemos os dois vértices do eixo maior e uma tangente. Propomos que determine os focos.

Exercício interactivo

Elipse: de uma tangente ao foco que falta

De uma elipse, conhecemos um dos vértices, um dos focos e uma tangente. Propomos que determine o outro foco.

Exercício interactivo:

Elipse: dos vértices à tangente

De uma elipse, conhecemos os quatro vértices e um ponto M. Propomos que determine a tangente à elipse em M.

Exercício interactivo:

Algumas propriedades da elipse

1. Tome-se a normal e a tangente num ponto M da elipse. A circunferência circunscrita ao triângulo formado por M e pelas intersecções T da tangente e N da normal com a recta que contém o eixo menor passa pelos focos.




[A.A.F.]

2. Se o vértice de um ângulo recto percorre o círculo principal mantendo~se um dos lados a passar por um foco, o outro lado é envolvente da elipse.




[A.A.F.]
Ilustramos, a seguir, as duas propriedades:

3. Os pés das perpendiculares às tangentes tiradas pelos focos são pontos do círculo principal.



4. Para uma dada elipse, o lugar geométrico dos simétricos F' de um foco F₁, relativamente às tangentes, é uma circunferência centrada no outro foco F₂ e cujo raio é o eixo maior (círculo director) (Dualmente: As perpendiculares a uma tangente da elipse tiradas por pontos do círculo director passam pelos focos.)

Pode clicar sobre o ponto P ou T para animar a contrução.



[A.A.F.]

A elipse

Sobre a elipse há, neste lugar geométrico, muitas entradas. Nas próximas entradas, vamos propor exercícios interactivos sobre elipses.

a elipse em dois andamentos

o ponto da escada que desliza

elipse inscrita num paralelogramo

elipse como envolvente

dos focos aos vértices da elipse

a recta que intersecta a cónica

Nesta entrada, lembramos ou relembramos algumas formas mais comuns de chegar à elipse, bem como as propriedades.

Uma elipse pode ser definida como lugar geométrico de pontos

cuja soma das distâncias a dois pontos dados é uma determinada constante;

Tomando dois pontos F e F' , chamados focos e designando por 2c=|FF'|, os pontos P de uma elipse serão tais que |FP|+|F'P|= 2a >2c (2a é o que chamamos eixo maior)

cuja razão das distâncias a um ponto e a uma recta é uma determinada constante;