As parábolas do ano que finda...

António Aurélio Fernandes continuou a propor exercícios sobre parábolas. Sempre foi misturando as suas propostas com algumas propriedades da parábola (relações entre elementos da parábola). Tudo para justificar ter falado em tempos numa vaga de problemas de parábolas. Não sabemos se deste ano sobrará tempo para preparar todos os exercícios interactivos que ele propõe.
Pelo sim, pelo não, aqui ficam para que possa pensar ainda este ano sobre essas propriedades e exercícios.
Duas propriedades...
Propriedade: O simétrico F' do foco F em relação a uma tangente à parábola está sobre a directriz.
Propriedade: (Dualmente) A simétrica da directriz relativamente a uma tangente passa pelo Foco.
... para dois exercícios (que pode resolver aqui mesmo):
Exercício: Determinar a directriz d de uma parábola de que são dadoso foco F e duas tangentes, t e t'.



Exercício: Determinar o foco F de uma parábola de que são dados a directriz d e duas tangentes, t e t'.

O foco na parábola

António Aurélio enviou mais um problema de parábolas, este para determinar o foco. A saber:
Determinar o foco F de uma parábola que passa pelo ponto M, tem por directriz a recta d e é tangente à recta t .

No seu cartão de Natal, dizia ele, a respeito destes problemas de parábolas: Nunca é demais lembrar, para a resolução da presente "vaga" de exercícios sobre parábola que se trata do lugar dos pontos equidistantes do foco e da directriz. Acompanho a lembrança com uma ilustração tirada de uma animação que fiz mesmo agora.

Parábola de Natal

O idoso professor andava tão feliz quanto infeliz por não compreender o que se tinha passado com o seu estojo de régua e compasso. Por mais que tentasse, não conseguia mostrar nenhum dos seus exercícios feitos com o novo estojo. Irrita não compreender, mas é sinal de vitalidade tentar compreender sem descanso as pequenas coisas que estão ao nosso alcance. O seu companheiro, tão idoso como o idoso professor mas com tanto tempo como um reformado professor tem, não se cansava de enviar para publicação os exercícios que, do passado, lhe eram sugeridos pela leitura das páginas de algum dos amarelecidos volumes "Éxércices de Géométrie" que Th. Caronnet publicou na década de 40 do século passado (ainda não tinha nascido a Mariana). Tanta insistência só podia aumentar o desespero do idoso professor. Ou não. Porque se deu o milagre de Natal: com mais tempo e empurrado pela insistência do companheiro construtor, o idoso professor lá conseguiu compreender o que sempre lá tinha estado e fácil de ver.

Posso dar hoje o primeiro exercício interactivo feito com a nova versão (5.1) do "Régua e Compasso" (Zirkel und Lineal). Proposto por António Aurélio Fernandes, aqui vai. Cliquem sobre o enunciado e acedam ao exercício interactivo

Determinar a directriz de uma parábola que tem foco F, passa por M e é tangente à recta t

Se puderem, escrevam a dizer-nos se gostam mais da nova versão.

Directriz de Natal

António Aurélio Fernandes envia este problema para alegrar o Natal dos geómetras:
Determinar a directriz de uma parábola de que são dados o foco F e dois dos seus pontos, A e B
Clique no enunciado para aceder ao exercício interactivo.

eu queria tanto que vissem ...

....e sentissem a matemática do natal que não resisti a roubar o "ambigrama" de Eric/Moacyr que já foi à outra vida como nós em parte fomos.... todos sem querer. Cliquem na "mensagem caligráfica" para ver o movimento que vos quis mostrar e não só o que vos quis dizer.

Dos focos aos vértices da elipse

Determinar os vértices de uma elipse definida pelos seus focos e por um dos seus pontos.

Clique sobre o enunciado para aceder ao respectivo exercício interactivo.

herdar parte de um triângulo

Dois irmãos herdaram um campo triangular, com serventia por um dos lados. Como hão-de dividir o campo de modo a ficarem ambos com a mesma serventia?

Diogo Pacheco de Amorim; Compêndio de Geometria; SPM. Lisboa: Ano Mundial da Matemática

A propósito deste problema, recebemos uma carta de Paulo Correia, de Alcácer do Sal, que nos lembra a proposta (variante mais rica) deste problema por José Paulo Viana, publicada no nº 71 da revista "Educação & Matemática" da Associação Portuguesa de Matemática. Paulo Correia chama ainda a atenção para as resoluções publicadas no nº 73 da mesma revista.

Obrigado, Paulo, pela informação.

quando uma recta encontra uma parábola

Releia o artigo anterior e procure pensar no seguinte problema de construção com régua e compasso:

Dada uma recta r, o foco F e a directriz d de uma parábola, determine os pontos de intersecção dessa recta r com a parábola definida por F e d.

Quando uma recta intersecta a cónica

Os programas de geometria dinâmica permitem-nos determinar cónicas como lugares geométricos de vários modos. Sempre com algumas limitações. Em alguns casos, as cónicas podem aparecer definidas por alguns dos seus pontos. Um problema interessante consiste em determinar pontos que pertençam a uma cónica definida por alguns elementos.
António Aurélio Fernandes propõe, com este pequeno artigo, abordar a
determinação dos pontos de intersecção de uma cónica com uma recta.

Seja a cónica definida pelo foco F, pela directriz d e pela excentricidade e. Determinar o(s) ponto(s) em que a recta intersecta a cónica.

Sabemos que, numa cónica, é constante a razão das distâncias de qualquer seu ponto P ao foco e à directriz, sendo a constante igual à excentricidade e.

[A.A.F.]
Nesta propriedade se baseia a construção que vamos apresentar.


[A.A.F.]
Tomemos um ponto qualquer N sobre r e tiremos a perpendicular a d; seja Q o pé da perpendicular. Tracemos a circunferência de centro N e raio |NQ|.e. Seja R um dos pontos de intersecção de circunferência com a recta FS (S é a intersecção de d e r). Por F tiremos uma paralela à recta NR: a intersecção dessa recta com r e´o ponto P da cónica.
De igual modo se obtinha o outro ponto de intersecção, caso existisse.

A cónica poderá ser definida por um dado que não seja a excentricidade. Seja, por exemplo, dado o centro O ou comprimento do semi-eixo maior. Nesses casos é necessário começar por determinar a excentricidade, caso se trate de uma elipse ou uma hipérbole: e = c/a.

Claro que nos problemas que são propostos só aparecem os elementos definidores das cónicas
<


[A.A.F.]

Geometria a compasso

Há muito muito tempo, Mara Cardoso enviou-nos algumas ideias de construção, comentários a outras construções e um pequeno documento a que dava o nome de 'Geometria a Compasso'. Para além de a termos introduzido numa viagem sobre os compassos (a propósito de um comentário seu sobre a divisão de um circunferência em arcos iguais) nada mais fizemos sobre o seu texto, além da promessa de o utilizarmos em artigos sobre a construção com compasso. O tempo foi-se e ainda não arranjámos tempo para comentar e utilizar o trabalho de Mara Cardoso. Para não atrasar mais, deixamo-nos de cautelas e demoras e disponibilisamos o texto da Mara Cardoso para quem o quiser ver e sobre ele se pronunciar. Para descarregar o texto de Mara Cardoso, basta clicar sobre

GEOMETRIA A COMPASSO
ou sobre a ilustração retirada do trabalho de Mara Cardoso

Dois triângulos para reconstruir

Aqui deixamos mais dois exercícios interactivos:


Determinar os vértices A, B, C de um triângulo de que são dados o centro Ib do círculo ex-inscrito no ângulo B, o pé Sc da bissectriz externa do ângulo C e o ponto Tia de tangência do círculo ex-inscrito no ângulo A com a recta AB.


Determinar os vértices de um triângulo [ABC] de que se conhecem o centro I do círculo inscrito, o centro Ic do círculo ex-inscrito em C e o centro Oe do círculo definido pelos três ex-incentros (Ia, Ib, Ic).