Problemas de construção que apresentaremos na forma de exercícios interactivos (ou não):
1. Dividir um trapézio em três partes equivalentes por rectas que intersectam as bases.
2. Dividir um dado círculo em três partes de áreas proporcionais a três comprimentos (m, n, p) dados, com recurso a circunferências concêntricas ao círculo.
3. Dividir um triângulo em duas partes equivalentes por uma perpendicular a um dos lados.
4. Dividir um triângulo em duas partes equivalentes por uma paralela a um dos lados.
5. Dividir um quadrilátero em duas partes equivalentes por uma recta passando por um vértice.
24.5.06
19.5.06
Segundo despertar dos geómetras.
Prosseguimos a nossa intenção já anunciada em 5 de Abril: fornecer aos jovens, apanhados pelo vírus da Geometria, instrumentos essenciais para a resolução de problemas; são, como já dissemos, questões não tratadas n a escola básica ou secundária.
Apresentamos hoje quatro proposições de frequente aplicação; não as demonstramos, mas prometemos publicar qualquer demonstração que nos seja enviada.
Recta de Euler: Num triângulo, o baricentro G, o ortocentro H e o circuncentro O são colineares e de tal modo que |GH| = 2 |GO|.
Este resultado é útil em todos os problemas de construção em que se afigure necessário obter um destes pontos notáveis conhecidos que sejam os outros.
Dos vértices aos pés das alturas: A circunferência que tem como diâmetro o lado de um triângulo, passa pelos pés das alturas referentes aos outros dois lados.
.
Uma bissectriz, duas simetrias: Consideremos um triângulo e o seu círculo circunscrito. O ângulo formado pela altura e diâmetro referentes ao vértice A tem como bissectriz a bissectriz do ângulo BÂC.
Outros pontos da circunferência dos vértices:
1 A bissectriz de um ângulo e o diâmetro perpendicular ao lado oposto de um triângulo intersectam-se num ponto da sua circunferência circunscrita.
2 O ortocentro H de um triângulo tem como simétrico em relação a cada lado um ponto do circuncírculo.
O próximo Despertar será dedicado a círculos ex-inscritos e suas relações com outros elementos do triângulo.
Apresentamos hoje quatro proposições de frequente aplicação; não as demonstramos, mas prometemos publicar qualquer demonstração que nos seja enviada.
Recta de Euler: Num triângulo, o baricentro G, o ortocentro H e o circuncentro O são colineares e de tal modo que |GH| = 2 |GO|.
Este resultado é útil em todos os problemas de construção em que se afigure necessário obter um destes pontos notáveis conhecidos que sejam os outros.
Dos vértices aos pés das alturas: A circunferência que tem como diâmetro o lado de um triângulo, passa pelos pés das alturas referentes aos outros dois lados.
Uma bissectriz, duas simetrias: Consideremos um triângulo e o seu círculo circunscrito. O ângulo formado pela altura e diâmetro referentes ao vértice A tem como bissectriz a bissectriz do ângulo BÂC.
Outros pontos da circunferência dos vértices:
1 A bissectriz de um ângulo e o diâmetro perpendicular ao lado oposto de um triângulo intersectam-se num ponto da sua circunferência circunscrita.
2 O ortocentro H de um triângulo tem como simétrico em relação a cada lado um ponto do circuncírculo.
O próximo Despertar será dedicado a círculos ex-inscritos e suas relações com outros elementos do triângulo.
Falam, falam, falam... Mas, quem cumpre, quem obriga a cumprir? Quem? :-)
© Aurélio Fernandes!
que mais manda que aos interessados se informe que estes "despertares" apoiam a resolução de problemas do tipo dos designados pelos números
119, 123, 127, 129 e 133 na extensa lista do GEOMETRIAGON.
8.5.06
Triângulo de perímetro mínimo.
No interior do ângulo  toma-se um ponto P. Por P passa uma infinidade de rectas que cortam os lados do ângulo Â. Cada uma dessas rectas tirada por P define um triângulo. Vasculhemos o mundo desses triângulos, até encontrarmos o de perímetro mínimo.
Para aceder ao exercício interactivo, clique sobre a ilustração.
Para aceder ao exercício interactivo, clique sobre a ilustração.
Triângulo equilátero num quadrado.
No Curso de Geometria de Paulo Ventura Araújo, que foi publicado pela Gradiva em 1998, há muitas propostas de trabalho (teoremas mais ou menos clássicos - demonstrações e construções; e demonstrações que sugerem construções com régua e compasso) que podem ser transformadas em belos exercícios interactivos. Aqui deixamos uma sugestão de exercício interactivo:
Sobre os lados de um quadrado [ABC], determinar os vértices Y e Z de um triângulo [XYZ] equilátero, do qual é dado o vértice X em [AB]
Para aceder ao exercício interactivo, clique sobre a ilustração.
Sobre os lados de um quadrado [ABC], determinar os vértices Y e Z de um triângulo [XYZ] equilátero, do qual é dado o vértice X em [AB]
Para aceder ao exercício interactivo, clique sobre a ilustração.
4.5.06
Trapézios circunscritíveis
No último número da "Educação e Matemática", José Paulo Viana propôs o problema - Uma circunferência no trapézio - com o seguinte enunciado:
E, no rasto dessa proposta, Mariana Sacchetti propôs ao Geometriagon um problema de construção de trapézio circunscritível.
A primeira pergunta que nos vem à cabeça tem a ver com as qualidades que um polígono, neste caso um quadrilátero, deve ter para merecer que haja uma circunferência tangente a todos os seus lados. O Aurélio não deixou de garantir imediatamente que trapézio que não seja isósceles não é trapézio que possa ser circunscritível. Será assim? O problema proposto pela Mariana e que aqui fica também como exercício interactivo é da construção de um trapézio isósceles e da circunferência nele inscrita a partir de uma das bases do trapézio e do comprimento da outra.
Esta pequena discussão trouxe-me à memória um artigo que tinha lido em tempos e que voltei a procurar: "Circumscribable Quadrilaterals: A Journey in Honors Geometry. Charles Worrall. Mathematics Teacher (NCTM) October 2004, Volume 98, Issue 3, Page 192". Tinha gostado muito da introdução que começava de uma forma inspiradora: If we want to inspire a young writer to be a poet, we do not start with a grammar book. Instead, inspiration and love literature come from reading complex works of art like Hamlet or Catcher in the Rye. Promoting a similar idea, Einstein wrote "the misterious... is the source of true art and science" (Ulam 1976, p. 289). To be more specific, one way to develope urgency and curiosity in mathematics students is to encourage them to wrestle with complex mathematical objects, ones whose dep and misterious realationschips are waiting to be found
Tinha gostado muito das primeiras palavras e foram elas em primeiro lugar que me vieram à memória. Mas não resisto a acrescentar aqui o primeiro problema posto por Worrall nesse artigo:
Coloquei este problema aos alunos do 9º ano. O que é que nele é difícil? O mais óbvio.... depois de saber. Como sempre, aliás.
Uma circunferência é tangente aos quatro lados de um trapézio isósceles. As bases do trapézio medem 4 e 16 cm. Qual é a medida do raio da circunferência? Investigação suplementar para os mais entusiastas: Que aconteceria se o trapézio não fosse isósceles?
E, no rasto dessa proposta, Mariana Sacchetti propôs ao Geometriagon um problema de construção de trapézio circunscritível.
A primeira pergunta que nos vem à cabeça tem a ver com as qualidades que um polígono, neste caso um quadrilátero, deve ter para merecer que haja uma circunferência tangente a todos os seus lados. O Aurélio não deixou de garantir imediatamente que trapézio que não seja isósceles não é trapézio que possa ser circunscritível. Será assim? O problema proposto pela Mariana e que aqui fica também como exercício interactivo é da construção de um trapézio isósceles e da circunferência nele inscrita a partir de uma das bases do trapézio e do comprimento da outra.
Esta pequena discussão trouxe-me à memória um artigo que tinha lido em tempos e que voltei a procurar: "Circumscribable Quadrilaterals: A Journey in Honors Geometry. Charles Worrall. Mathematics Teacher (NCTM) October 2004, Volume 98, Issue 3, Page 192". Tinha gostado muito da introdução que começava de uma forma inspiradora: If we want to inspire a young writer to be a poet, we do not start with a grammar book. Instead, inspiration and love literature come from reading complex works of art like Hamlet or Catcher in the Rye. Promoting a similar idea, Einstein wrote "the misterious... is the source of true art and science" (Ulam 1976, p. 289). To be more specific, one way to develope urgency and curiosity in mathematics students is to encourage them to wrestle with complex mathematical objects, ones whose dep and misterious realationschips are waiting to be found
Tinha gostado muito das primeiras palavras e foram elas em primeiro lugar que me vieram à memória. Mas não resisto a acrescentar aqui o primeiro problema posto por Worrall nesse artigo:
Se um quadrilátero tem três lados consecutivos a medir 12, 15 e 17 unidades e circunscreve um círculo, quanto mede o seu quarto lado?
Coloquei este problema aos alunos do 9º ano. O que é que nele é difícil? O mais óbvio.... depois de saber. Como sempre, aliás.
3.5.06
Monsky e a divisão do quadrado em triângulos
A referência do artigo de P. Monsky sobre a divisão do quadrado em triângulos equivalentes é:
On dividing a square into triangles, Amer. Math. Monthly, Vol. 77 No. 2, Feb. 1970, pp. 161-164.
Nas "Tardes de Matemática 2003-2004", promovidas pela Delegação Regional do Centro da Sociedade Portuguesa de Matemática, há referência a uma conferência de Alfredo da Costa (da Universidade de Coimbra) sobre este tema. Era apresentada assim:
Título:
Dissecação de polígonos em triângulos com áreas iguais
Resumo:
É fácil dividir uma quadrado em dois triângulos com áreas iguais, para tal bastando a sua bissecção por uma das diagonais. De um modo geral, podemos dividir um quadrado num qualquer número par 2n de triângulos com áreas iguais: dividimos uma das diagonais em n segmentos de igual comprimento e depois unimos as extremidades desses segmentos às extremidades da outra diagonal. Surge assim naturalmente a seguinte questão: é possível dividir um quadrado num número ímpar de triângulos com áreas iguais? Este problema foi resolvido em 1970 por Paul Monsky. Nesta palestra vamos apresentar a abordagem de Monsky. A partir dela, faremos depois uma digressão sobre o problema da dissecação em triângulos da áreas iguais de outros polígonos além do quadrado.
On dividing a square into triangles, Amer. Math. Monthly, Vol. 77 No. 2, Feb. 1970, pp. 161-164.
Nas "Tardes de Matemática 2003-2004", promovidas pela Delegação Regional do Centro da Sociedade Portuguesa de Matemática, há referência a uma conferência de Alfredo da Costa (da Universidade de Coimbra) sobre este tema. Era apresentada assim:
Título:
Dissecação de polígonos em triângulos com áreas iguais
Resumo:
É fácil dividir uma quadrado em dois triângulos com áreas iguais, para tal bastando a sua bissecção por uma das diagonais. De um modo geral, podemos dividir um quadrado num qualquer número par 2n de triângulos com áreas iguais: dividimos uma das diagonais em n segmentos de igual comprimento e depois unimos as extremidades desses segmentos às extremidades da outra diagonal. Surge assim naturalmente a seguinte questão: é possível dividir um quadrado num número ímpar de triângulos com áreas iguais? Este problema foi resolvido em 1970 por Paul Monsky. Nesta palestra vamos apresentar a abordagem de Monsky. A partir dela, faremos depois uma digressão sobre o problema da dissecação em triângulos da áreas iguais de outros polígonos além do quadrado.
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