antero'keeffe recuperado

Em busca de uma curva, Antero Neves chegou a outra.
Uma curva inesperada merece ser mostrada.
Aqui fica.

Houve quem pensasse em borboletas.
Eu pensei em Georgia O'Keeffe.

Golpe de asa

A asa envolvente.

[A.A.M.]
recuperação em geogebra

Tangentes exteriores a dois círculos

Quando aqui colocámos os primeiros problemas sobre circunferências e tangentes, deixámos para trás os problemas mais simples. A preocupação de então era apresentar problemas que interessassem estudiosos para recebermos retorno. Não nos podemos queixar. Só agora começámos a dar por algumas faltas nas publicações. Algumas construções tinham sido feitas para anteriores experiências mais ou menos falhadas. Em artigo anterior, colocámos exercícios interactivos para a construção da tangente a uma circunferência tirada por um ponto exterior. Hoje o problema é outro.

Problema: Temos duas circunferências de raios r e R e determinamos (com régua e compasso) rectas tangentes comuns às duas" Da antiga construção:
Nota prévia: na resolução em Cinderella, as linhas referentes aos dados estão a azul, as linhas referentes a construções estão a verde. Há duas tangentes externas e duas tangentes internas.
Temos duas circunferências de centros A (raio r) e B (raio R).
Em construção à parte, determinamos a diferença R-r.< br> Com centro em B, traçamos a circunf. de raio R-r. Traçamos a tangente a esta circunferência a partir de A: recta c; ponto de tangência: H.
Seja H' o ponto de intersecção de BH com a circunferência de centro B e raio R.
Por A tiramos a perpendicular a c; seja L o ponto de intersecção de AL com a circunferência de centro A e raio r.
A recta LH' (a preto) é uma das quatro tangentes pedidas.
E fica por resolver a determinação das tangentes interiores. Essa é a proposta.(*)

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Processo da reconstrução, usando Geogebra, feita pelo reconstrutor Aurélio Fernandes:
São dadas duas circunferências: uma de raio r=AD, outra de raio R=BE. Traçar as tangentes comuns às duas circunferências: exteriores e interiores.

[A.A.F]
1) Tangentes exteriores
- Tracemos a circunferência de centro B e raio R-r=BF.
- A partir de A, tracemos as tangentes à circunferências de centro B e raio BF: AH e AG. (Basta traçar a circunferência de centro no ponto média M ao segmento AB para obter H e G)
- Seja H’ o ponto de interseção de BH com a circunferência de centro B e raio R; e G´ o ponto de interseção de BG com a circunferência de centro B e raio R
- Finalmente por H’ traçamos uma paralela a AH e por G´ uma paralela a AG (retas a vermelho). São as tangentes exteriores pretendidas.

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Escrevia-se na entrada inicial:
(*) E fica por resolver a determinação das tangentes interiores. Essa é a proposta.
E [A.A.F.] aqui apresenta uma construção em resposta a essa proposta:
[A.A.F.]

Carta de Brigite Silva

Arsélio
(...) foi-nos apresentado o vosso Blog de Geometria, pelo que nos propusemos a pensar, discutir e resolver alguns dos problemas apresentados. Deste modo, estou a enviar-lhe (...) a minha proposta de resolução para um dos problemas que se encontra no vosso blog de geometria. Em anexo envio os ficheiros onde se encontra o enunciado do problema e o meu processo de construção. Para qualquer crítica, dúvida ou sugestão poderão contactar-me: Brigite Simões da Silva (III) Rectas e Circunferências

Problema:
Traçar uma circunferência de raio r dado que seja tangente a duas rectas concorrentes dadas.

Processo de construção:


[A.A.F]
reconstrói (em 16/02/2021 recorrendo a Geogebra)
a construção proposta por Brigite Silva que tinha sido feita em 2005 recorrendondo o Cinderella.

Pretendemos encontrar a circunferência tangente a duas rectas concorrentes, dado o seu raio.
São dadas duas rectas concorrentes a e b e o raio da circunferência r, que corresponde ao comprimento de [BE], construído para auxiliar a construção.
A circunferência que procuramos deve ter o seu centro a uma mesma distância das duas rectas, pelo que deverá pertencer à bissectriz do ângulo formado pelas rectas concorrentes no ponto A.
Sabemos que o centro C da circunferência terá que pertencer à bissectriz mas não sabemos a sua posição. Então comecemos por traçar a circunferência de centro A e raio r. De seguida tracemos uma recta perpendicular a a (ou a b) que passe por A, que designaremos por d. Seja D o ponto de intersecção da recta d com a circunferência traçada.
Como a distância entre quaisquer duas rectas paralelas é constante, traçando uma recta (denotada por e) paralela a a e que passe por D, asseguramos que a distância entre as duas é igual ao raio da circunferência que pretendemos traçar.
O centro C da circunferência que procuramos será a intersecção da recta e com a bissectriz do ângulo formado pelas rectas concorrentes.
Para determinar o ponto de tangência da circunferência procurada com a recta a, tracemos uma recta perpendicular a a que passe por C. O ponto de tangência será F.
Neste momento dispomos dos dados necessários para traçar a circunferência tão desejada, será ela a circunferência de centro C que passe por F.

Pedia-se finalmente:
Comente a construção de Brigite Silva.

Tangente a um círculo tirada por um ponto

A Proposição XVII dos Elementos de Euclides "Tirar por um ponto uma tangente a uma circunferência" é aqui proposta em dois exercícios interactivos.

Se quer um exercício interactivo seguindo um procedimento clássico, basta clicar aqui ou sobre a ilustração.

Se quer um exercício interactivo seguindo as sugestões de Aurélio Fernandes (Puig Adam ou alguém antes dele - diz ele) clique antes sobre esta grande frase.

Em Geometriagon , na lista de 100 exercícios interactivos (construção com régua e compasso) que Giorgio Attico propôe, este é o segundo. Mas só com régua. Fica convidado a espreitar, a participar, a viciar-se neste jogo. E fica a conhecer mais um instrumento para fazer geometria.

Ao mesmo tempo que nós, só com régua, tente construir as tangentes a um círculo (nem o centro é dado, mas pode tomar três pontos) que passam por um ponto dado que lhe é exterior.

Cada problema é outro problema

Para nós, o melhor é mesmo apareceram muitas soluções para o mesmo problema de construção. Cada construção que se fizer para um mesmo exercício é sempre um útil luxo. Há quem diga que pensar noutras construções depois de ter uma é luxo inútil ou lixo. Nós pensamos o contrário. Com cada nova construção aprendemos outras maneiras de olhar e de pensar e ... aprendemos mesmo.
Para mim, a construção de um triângulo dados um lado a=|BC| e a soma dos outros dois b+c = |AC|+|AB| (para além de um ângulo) devia sempre passar pela construção de uma elipse de focos B e C. Para isso, bastava-me considerar um ponto P a mover-se num segmento de comprimento b+c e duas circunferências de centros em B e em C... Não me cansei das minhas experiências e ainda não dei a minha via por inútil. O Aurélio defende uma bela solução que procura explicações em simples triângulos e um paralelogramo. A Cláudia Sofia apresentou uma outra que publicámos e que, por ter algumas dificuldades comentadas, lhe mereceu a preocupação e a promessa de apresentar uma nova mais discutida e testada. Estamos à espera do envio da Cláudia Sofia.
O que pode ser melhor para a Geometria que queremos aprender e ensinar?
Vamos ilustrar a proposta do Aurélio:

Tomamos A e duas semirectas - de A para Q e de A para R - definindo o ângulo A (que podemos modificar. movendo R verde). Com centro em A, desenhamos as circunferências de raios a e b+c dados. E marcamos D e F sobre as rectas do ângulo A, à distância b+c de A. O triângulo ADF é isósceles de lado b+c. Se tomarmos E em DF e à distância a de A, basta-nos desenhar uma paralela a AD passando por E para obtermos C e uma paralela a AE por C para obtermos B. [ECF] é isósceles já que é semelhante a [DAF]. |EC|=|CF|=|AB|=c. |AC|=b=|AF|-|CF| e|AE|=|CB|=a.
Ora vejam lá se não é! Parece tão simples.

Triângulos de Catarina Cruz

(...] resolvi dois dos problemas apresentados na página de Geometria.
Os problemas sobre os quais me "debrucei" referem-se à construção de triângulos. Os enunciados assim como as minhas propostas de resolução encontram-se nos ficeiros que envio em anexo.
Qualquer crítica ou sugestão serão bem-vindas.
Grata pela sua atenção
Catarina Cruz

Problema:
Construir um triângulo [ABC] do qual se conhecem o lado [BC], o ângulo B e o comprimento da altura tirada a partir de A.

Sugestão para uma possível construção:

[Para ver a construção dinâmica de Catarina Cruz,
basta clicar sobre esta ilustração]

Traçamos o segmento [BC] de medida a (dada inicialmente);
Pelo ponto B fazemos passar uma recta f tal que a amplitude do ângulo dirigido de [BC] para f seja igual à amplitude dada para o ângulo B;
Por um ponto qualquer da recta BC tiramos-lhe uma perpendicular que designaremos por g. Seja D o ponto resultante da intersecção das rectas BC e g;
Determinamos sobre um segmento de extremidade D e comprimento h' (comprimento da altura tirada a partir de A). Obtemos o segmento [DE];
Pelo ponto E traçamos uma perpendicular a g, designamo-la por i;
Da intersecção de i com f resulta A, o terceiro vértice do triângulo. Unindo os pontos A, B e C obtemos o triângulo pretendido.

Observações à construção

Foram introduzidas na construção "ferramentas" que permitem variar os valores dos elementos dados inicialmente:
Movendo o ponto C' obtemos medidas diferentes para a, medida do segmento [BC];
Movendo o ponto P obtemos medidas diferentes para a amplitude do ângulo B;
Movendo E' obtemos medidas diferentes para o comprimento da altura tirada a partir de A.

Apenas são movíveis os pontos assinalados a vermelho.

Comente a construção de Catarina Cruz.

II - Triângulos de Catarina Cruz

Problema:
Construir um triângulo [ABC] do qual se conhecem os ângulos B e C e o comprimento da altura tirada a partir de A.

Sugestão para uma possível construção:

[Para ver a construção dinâmica de Catarina Cruz,
basta clicar sobre esta ilustração]

Traçamos uma recta f e consideramos sobre esta o ponto B;
Desenhamos a recta g que passa por B, tal que a amplitude do ângulo dirigido de f para g seja igual à amplitude dada para o ângulo B;
Tiramos uma perpendicular a f por um ponto qualquer desta e designamo-la por i;
Determinamos sobre i um segmento de extremidade D (ponto resultante da intersecção de f com i) e comprimento h' (medida da altura tirada a partir de A). Seja [DE] o segmento pretendido;
Traçamos por E uma perpendicular a i, designamo-la por j. Seja A o ponto resultante da intersecção das rectas g e j;
Por um ponto qualquer de f fazemos passar uma recta k cula amplitude do ângulo dirigido de k para f seja igual à amplitude dada para o ângulo C;
Tiramos por A a paralela a k, designemo-la por l;
O ponto resultante da intersecção de f com l será o terceiro vértice do triângulo. Unindo os pontos A, B e C obtemos o triângulo pretendido.

Observações à construção

Foram introduzidas na construção "ferramentas"que permitem variar os valores dos elementos dados inicialmente:
Movendo o ponto P obtemos medidas diferentes para a amplitude do ângulo B;
Movendo o ponto Q obtemos medidas diferentes para a amplitude do ângulo C;
Movendo o ponto E' obtemos medidas diferentes para o comprimento da altura tirada a partir de A.

Apenas são movíveis os pontos assinalados a vermelho.

Comente a construção de Catarina Cruz

A segunda construção de Sofia Canoso

Em   Triangularidades   colocávamos vários problemas para resolver. A Sofia Canoso apresenta a resolução de um deles. Aqui fica à consideração de todos.
Problema:
Construir um triângulo de que se conhece um ângulo Â, um lado a e a soma b + c dos lados restantes.
Resolução:

[Para ver a construção dinâmica de Cláudia Sofia Canoso,
basta clicar sobre esta ilustração]

Suponhamos que se conhece o lado [AB], de comprimento a, (que se pode alterar movendo A ou B) e a soma dos comprimentos dos outros dois b + c, que corresponde ao comprimento de [A'H'], na nossa figura. É dado também o ângulo em A, que podemos variar movendo a recta a.
Conhecemos b + c mas não sabemos a posição exacta do ponto C (apenas sabemos que terá de pertencer à recta a). Então tracemos a circunferência de centro A e raio b + c. Essa circunferência intersecta a recta a em dois pontos. Consideremos um deles, H. O comprimento de [AH] é b + c.
Para encontrar C, basta pensarmos que este tem de estar entre A e H (porque b + c > c e b+ c > b) e que podemos considerar a distância de A a C igual a c e a distância de C a H igual a b (por forma que a soma seja b + c).
- Como a distância de A a B é a e a distância de A a C é c, a distância de B a C será b, pelo que o triângulo [BCH] será isósceles de base [BH].
- Então C pertencerá à mediatriz do segmento de recta [BH], pelo que marcamos o ponto médio deste segmento, M. A mediatriz de [BH] é a perpendicular a este segmento que passa por M, c.
- O ponto C resulta da intersecção da mediatriz de [BH] com a recta a.
O triângulo [ABC] encontrado satisfaz as condições requeridas.
Observação:
Atendendo a que num triângulo se tem de verificar a desigualdade triangular, este problema só tem sentido quando b + c > a.

Primeira carta de Sofia Canoso

(...)
Junto envio uma proposta de resolução de um problema de construção de um triângulo conhecida a altura a partir do vértice A, o ângulo em A e o comprimento de [BC]. De seguida enviar-lhe-ei outra mensagem com a resolução de um outro problema: Construir um triângulo conhecido um lado a, um ângulo  e a soma dos lados restantes.
Qualquer dúvida acerca das resoluções, ou sugestão de alteração de algo, poderá contactar-me:
Cláudia Sofia Canoso

Problema:

Construir um triângulo de vértices A, B e C, conhecidos:
* o lado [AC], de comprimento b;
* a altura h', tirada a partir de A;
* o ângulo em A.

Resolução:

[Para ver a construção dinâmica de Cláudia Sofia Canoso,
basta clicar sobre esta ilustração]

Para resolver este problema, usaremos uma construção auxiliar. Iremos estabelecer uma correspondência entre elementos da construção principal e elementos da construção auxiliar: A e A';C e C';H e H' (H tal que [AH] é a altura a partir de A); b = b' = comprimento do lado [AC] do triângulo; h' = altura do triângulo [ABC] a partir de A (comprimento de [AH] e de [A'H']).
Dado o lado [AC], que podemos mover através dos pontos A e C, e o ângulo em A, definido pelas rectas AC e AB, que podemos alterar movendo a recta AB , pretende-se encontrar o terceiro vértice do triângulo, B.
Conhecemos h', comprimento de [AH], mas não sabemos a posição exacta do ponto H, pelo que teremos de o encontrar primeiro:
- O ponto H estará algures sobre a circunferência de raio h' e centro A, pelo que traçamos essa circunferência.
- Uma vez que o triângulo [AHC] é rectângulo em H, porque AH é a altura a partir de A, teremos de construir um triângulo rectângulo em que um cateto mede h' e a hipotenusa mede b. Para construir este rectângulo, usemos a nossa construção auxiliar:
- Tracemos a perpendicular a A'H' por H'.
- O ponto C', resultante da intersecção desta perpendicular com a circunferência de centro A' e raio b' = b, determina juntamente com A' e H', o triângulo rectângulo pretendido. Ficamos a conhecer o comprimento de [HC] (= comprimento de [H'C']).
- Traçamos a circunferência de centro C e raio = [H'C']= b'.
O ponto H resulta da intersecção da circunferência de centro A e raio h com esta última circunferência.
Depois de encontrar o ponto H, traçemos a recta que passa por C e por H, d.
O vértice B resulta da intersecção da recta d com recta AB.
O triângulo [ABC] procurado está a verde.
©CSC, 29/04/2005, FCTUC

Carta de Sofia Miranda

Pretendo apresentar uma proposta de resolução para o problema que encontrei no vosso Blog de Geometria, intitulado "V- Raios de Circunferências".
Sendo dadas duas circunferências: uma de centro A e raio s, outra de centro B e raio t, pretende-se traçar uma circunferência de raio r dado que seja tangente às duas circunferências dadas.
Apresento de seguida o meu raciocínio e o meu processo de construção.

Pôde ver a construção dinâmica de Sofia Isabel.

Designemos por C o centro da circunferência que procuramos. A distância do C a A tem de ser s + r e, analogamente, a distância de C a B tem de ser t + r. Portanto, C terá de ser um dos pontos de intersecção entre a circunferência centrada em A, de raio s + r, e a circunferência centrada em B de raio t + r.
Assim, tracei essas duas circunferências (que são as que estão desenhadas a amarelo) e determinei o ponto C, que é o seu ponto de intersecção.
Depois, determinei o ponto em que a circunferência de centro A é intersectada pela recta AC e o ponto em que a circunferência de centro B é intersectada pela recta BC. Esses dois pontos, que designei por I e J, são os pontos de tangência.
De seguida, tracei a circunferência centrada em C que passa nos dois pontos de tangência determinados, sendo esta a circunferência que procurávamos.
A construção foi realizada de modo que é possível alterar os raios r, s e t, assim como a posição dos pontos A e B.
Manipulando a construção, podemos concluir que quando 2r<|AB|-s-t não existe nenhuma circunferência nas condições pretendidas.
Espero que esta seja uma boa solução para o problema proposto e que não me tenha escapado nenhuma falha.
Envio em anexo o ficheiro do Cinderella com a minha construção (II-RaiosdeCirc.cdy)

Gostaria também de apresentar a minha proposta de resolução para o problema "IV-Rectas e Circunferências". Pouco antes de enviar esta mensagem, verifiquei que foi apresentada recentemente uma resolução e que o meu raciocínio foi bastante semelhante, mas de qualquer forma aqui vai a minha proposta.
Dada uma circunferência de centro C e raio s e dada uma recta m, pretende-se traçar uma circunferência de raio r dado, que seja tangente à recta m e à circunferência de centro C.

Pode assim ver a construção dinâmica de Sofia Isabel MIranda.

Admitindo que a circunferência de que estamos à procura é sempre exterior à circunferência dada, concluí que o centro da circunferência que pretendemos determinar terá de pertencer a uma circunferência centrada em C com raio s + r, uma vez que, a distância entre os centros de duas circunferências tangentes e exteriores uma à outra, de raios s e r, é s + r.
Por outro lado, como a circunferência que pretendemos determinar também tem de ser tangente a uma recta m dada, o seu centro terá de pertencer a uma recta paralela a m, que diste r unidades de m. Ora, existem duas rectas nessas condições.
Portanto, o centro da circunferência pretendida terá de ser um ponto de intersecção entre a circunferência de centro C e raio s + r e uma das duas rectas paralelas a m anteriormente mencionadas.
Tendo em conta este raciocínio fiz uma construção geométrica no Cinderella que envio em anexo.
No primeiro ficheiro (IV-RectaseCirc1.cdy) envio a construção completa. No entanto, considero que está bastante sobrecarregada com elementos que foram meramente auxiliares, por isso envio também um segundo ficheiro (IV-RectaseCirc2.cdy) em que ocultei alguns deles, tornando a apresentação mais simples.
Na construção é possível alterar os raios dados, a posição do ponto C e a posição da recta m (alterando-se a posição dos pontos D e E).
Se fizermos algumas manipulações podemos verificar que temos vários casos possíveis, consoante a distância do ponto C à recta m.
Quando a distância de C a m é menor que s, existem 4 pontos de intersecção e portanto conseguimos encontrar quatro circunferências nas condições pretendidas.
Quando a distância de C a m é maior que s e menor que s + 2r, existem duas circunferências nas condições pretendidas.
Quando a distância de C a m é exactamente igual a s+2r, existe apenas uma circunferência nas condições pretendidas.
Quando a distância de C a m é maior que s+2r, não existe nenhuma circunferência nas condições pretendidas. Isto acontece, porque o diâmetro da circunferência pretendida é menor que a distância entre a circunferência dada e a recta m dada.
São estas então as minhas duas propostas de resolução.
Os meus cumprimentos.
©Sofia Miranda
23 de Abril de 2005, FCTUC