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31.1.12

Introdução à Geometria Projetiva Plana

  1. Temos realizado construções dinâmicas (ou não) para ilustrar resultados (resolver problemas) da geometria elementar. Recorremos para isso à régua e ao compasso, no fundamental. Na geometria euclideana plana estudamos propriedades dos pontos e retas de um plano que se mantêm invariantes por transformações de semelhança. Começamos hoje a estudar problemas e resultados da geometria projetiva plana que é o estudo das propriedades que se mantêm invariantes pela projeção central.
    Enquanto que na geomeria euclideana plana utilizamos o compasso no transporte de segmentos, o que equivale a dizer que usamos a noção de comprimento de um segmento, na geometria projetiva não considera comprimentos.
    F. Enriques resumia o ponto de vista destas geometrias, dizendo que "o homem normal constituiu a geometria elementar" e que suprimindo "as mãos desse homem, impedindo-o de medir as distâncias, ele é conduzido à geometria projetiva".
    A geometria projetiva é a geometria do que se vê. Quando olhamos para os carris (paralelos) de um caminho de ferro, vemos que eles se encontram num ponto. Quando avançamos, o ponto em que se intersetam avança. O ponto de interseção afasta-se à medida que dele nos aproximamos. Na geometria projetiva não há retas paralelas, há retas que se juntam num ponto do infinito, a que também se chama ponto limite, ponto impróprio, ponto ideal, etc.
  2. Para a geometria projetiva plana, as noções primitivas são as de ponto, reta e incidência. As palavras incidência, incidente, incide, incidem... são substituídas muito frequentemente por outras expressões. Em geral, não dizemos "o ponto P incide na reta r" e antes dizemos que "o ponto P pertence à reta r" ou "P está sobre r" ou "P é um ponto de r", como também não dizemos "a reta r incide no ponto A" e antes dizemos "r passa por A", etc. Para o plano onde trabalhamos, usamos uma letra grega α, por exemplo, para os pontos de α usamos letras maiúsculas A, B, C, ... e para as retas do plano α usamos a, b, c, ...r, s, t,... Claro que também designamos por AB a reta que incide nos pontos A e B. E se três pontos incidirem numa mesma reta, diremos que os pontos são colinerares. Quando duas retas incidem num só ponto comum, dizemos que as retas são concorrentes.
  3. Primeiro esboço de uma axiomática.
    Consideremos um plano α de pontos P e uma família não vazia de subconjuntos próprios não vazios de α a que chamamos retas. Os axiomas de incidência que usamos, são:

    Axiomas de incidência
    Dois pontos distintos de α pertencem a uma só reta Duas retas distintas têm um só ponto em comum
    Existem quatro pontos em α distintos dos quais quaisquer três deles não incidem numa mesma reta Existem quatro retas distintas, das quais quaisquer três delas não incidem num mesmo ponto

    Reparemos que os enunciados dos dois axiomas de cada linha são tais que se num deles substituirmos ponto por reta e reta por ponto obtemos o outro. Dizemos, por isso, que qualquer um dos enuciados é dual do outro (o princípio da dualidade é fundamental na geometria projetiva plana).
    Observemos que, por haver uma família não vazia de retas do plano α, os axiomas da primeira linha garantem que,  no mínimo, há dois pontos e, como as retas são subconjuntos próprios do plano, este tem no mínimmo três pontos.
    Claro que pode ser pouco interessante, o estudo das propriedades de uma geometria tendo por base um conjunto de pontos que não seja infinito. À medida que forem sendo precisas, incluiremos novas noções óbvias: feixe de retas, triângulo, quadrângulo, hexágono, etc.
Referências:
Godeaux, L. As Geometrias, Col. Saber, Pub Europa-América, Lx: 1960
Samuel, P. Projective Geometry, Readings in Mathematics,Springer-Verlag. NY: 1988
Coxeter,H. The real Projective Plane, Cambridge University Press. Cambridge:1961
Coxeter, H. Introduction to Geometry, John Wiley and sons,INC, NY:1969
Coxeter, H. Projective Geometry, Springer-Verlago. NY:1994
Puig Adam, Curso de Geometria Métrica, Gráficas S.A. Rodrigues San Pedro. Madrid:1949
Izquierdo, F. Geometria Descriptiva Superior y Aplicada. Dossat. Madrid:1980
Berzolari L. Enciclopedia delle Matematiche Elementari e Complementi. Ulrico Hoepli. Mlano:1949
Ryos de Sousa, J. Lições de Geometria Projectiva. Porto Editora. Porto:

1 Commentários:

Anonymous Anónimo escreveu...

Muito bom o texto. No meu curso de Computação gráfica na faculdade, tive contacto com o Plano projectivo orientado. Que, pelo que eu entendo, é uma extensão ao Plano projectivo. O senhor tem intenção de explorar o Plano projectivo em seus post no blog?

Muito obrigado!

4:25 da tarde  

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