24.1.12

Pavimentações não periódicas por replicação de um ladrilho

Pavimentamos o plano, com ladrilhos todos congruentes não lado com lado, sem simetrias de translação e em que cada ladrilho pode ser dividido num certo número de ladrilhos iguais e semelhantes ao original. À esquerda, uma pavimentação com esfinges congruentes e à direita com triângulos retângulos em que um cateto é dobro do outro e em que cada triângulo pode ser dividido em 5 congruentes a ele semelhantes.






Deslocando os pontos a verde, em cada figura dinâmica, pode mudar o tamanho dos ladrilhos.

21.1.12

Pavimentações não periódicas

Pavimentamos o plano negro, com ladrilhos todos congruentes, mas sem simetrias de translação. À esquerda, uma pavimentação com triângulos isósceles congruentes e simetrias de reflexão e de rotação (D12) e à direita com pentágonos côncavos equiláteros e simetrias de meia volta (C2) (ferramenta de Mariana Sacchetti, rotações e reflexões).





Deslocando os pontos a verde, em cada figura dinâmica, pode mudar o tamanho dos ladrilhos.

20.1.12

Problema de Hilbert e contra-exemplo.

Da lista de problemas apresentada por Hilbert durante o segundo Congresso II Congresso INternacional de Matemáticos que se realizou em 1900 (Paris) constava um problema sobre pavimentações: Será verdade que qualquer pavimentação pura (monoedral, composta por polígonos congruentes) também admite que há uma simetria da pavimentação que leva de um ladrilho para qualquer outro? Supostamente, Hilbert pensava que isso era verdade. Passados 35 anos alguém provou que não era verdade com um contra-exemplo em que o ladrilho era um polígono concavo. E depois Kershner apresentou exemplos de pentágonos convexos que pavimentavam o plano e em que havia pares de ladrilhos, para os quais nenhuma simetria da pavimentação levava de um para o outro. Apresenta-se a ilustração dinâmica de uma pavimentação em que deixamos as propriedades do ladrilho pentagonal (ferramenta geogebra e pavimentação feita por Mariana Sacchetti) e os quatro pentágonos de partida. Trata-se ainda de uma pavimentação periódica com translações associadas a dois vetores independentes).



Pode deslocar o ponto verde e variar o tamanho dos ladrilhos

18.1.12

Pavimentações e propriedades das suas simetrias

As pavimentações do plano construídas até agora são periódicas (admitindo simetrias de translação associadas a dois vetores independentes). Dada uma pavimentação regular ou semi-regular, ao seu grupo de simetrias correspondem pavimentações todas semelhantes a ela.
Destas pavimentações periódicas compostas por ladrilhos poligonais regulares em que cada lado de um polígono é comum a dois polígonos e cada vértice é vértice de pelo menos três polígonos, é interessante verificar como se relacionam ladrilhos, lados (ou arestas) e vértices.
Será que tomados dois vértices quaisquer de uma pavimentação, alguma das simetrias da pavimentação transforma um no outro? E que pavimentação terá simetria que transforma um lado noutro qualquer? Ou em que pavimentação haverá simetria que transforme um ladrilho noutro qualquer?
Será que tomados dois vértices quaisquer de uma pavimentação, alguma das simetrias da pavimentação transforma um no outro? E que pavimentação terá simetria que transforma um lado noutro qualquer? Ou em que pavimentação haverá simetria que transforme um ladrilho noutro qualquer?

Apresentam-se a seguir duas ilustrações dinâmicas. Na primeira, tomados quaisquer dois vértices (dois lados, dois ladrilhos), há uma simetria da pavimentação que leva de um para o outro. Na segunda já não se pode verificar tanto até porque não há um só tipo de ladrilhos ou os ladrilhos não são todos congruentes. Mas nessa segunda ilustração tomados quaisquer dois vértices (dois lados, dois ladrilhos congruentes) uma das simetrias da pavimentação que faz corresponder a um deles o outro.





Deslocando os pontos a verde, em cada figura dinâmica, pode mudar o tamanho dos ladrilhos.


Parece-nos imediato que estas propriedades se verificam em qualquer das 3 pavimentações regulares. Mas será que tal se passa nas semi-regulares?
  1. Numa pavimentação semi-regular, dados dois vértices quaisquer há uma simetria da pavimentação que transforma um no outro daqueles vértices. (?)
  2. Há uma única pavimentação semi-regular, em que há sempre uma simetria a transformar uma aresta em qualquer outra. Qual é?
  3. Em qualquer pavimentação semi-regular, para quaisquer dois ladrilhos congruentes há uma simetria da pavimentação que transforme um no outro?

12.1.12

Ilustrações de todas as pavimentações regulares e semi-regulares

Publicamos ilustrações estáticas das pavimentações regulares e semi-regulares, feitas a partir das construções dinâmicas que foram sendo apresentadas nas diversas entradas sobre pavimentações.


Pavimentações regulares


3.3.3.3.3.3



4.4.4.4



6.6.6



Pavimentações semi-regulares ou arquimedianas


3.3.3.3.6



3.3.3.4.4



3.3.4.3.4



3.6.3.6



3.4.6.4



3.12.12



4.6.12



4.8.8





Resumindo:
A menos de semelhanças, há exatamente onze pavimentações cujos ladrilhos são polígonos regulares e em que todos os vértices são do mesmo tipo. (Teorema de Kepler).

As pavimentações do plano construídas até agora são periódicas (admitindo simetrias de translação associadas a dois vetores independentes). Dada uma pavimentação regular ou semi-regular, ao seu grupo de simetrias correspondem pavimentações todas semelhantes a ela.

Nota: Seguimos Martin, G. Transformation Geometry: and introduction to symmetry. Springer-Verlag, N.Y: 1982, sem grandes preocupações de terminologia. As mesmas (ou parte delas) construções estão ilustradas no livro de Eduardo Veloso (Geometria) e na brochura de "Geometria e Medida no Ensino Básico" de Ana Breda (e outros) editada pela DGIDC/ME, em 2011. Os professores seguirão a terminologia dessa brochura, como é óbvio.

11.1.12

Notas sobre pavimentações regulares e semi-regulares

Nas entradas anteriores, apresentaram-se pavimentações em que todos os ladrilhos são polígonos. Para muitos autores e para efeitos de estudos dos níveis de ensino não superior, algumas delas nem sequer são consideradas ou nomeadas como pavimentações. Para os efeitos do estudo que aqui fazemos não consideramos os casos em que os pares de ladrilhos nunca têm lados comuns.
Por esta entrada de hoje, só entram (ou só são consideradas) as pavimentações compostas por polígonos regulares que quando se intersetam o fazem sobre um lado comum a dois polígonos ou sobre um um vértice que é vértice de três ou mais ladrilhos.
  1. Pavimentações regulares.
    As pavimentações com ladrilhos que são polígonos regulares todos congruentes (ou geometricamente iguais) tomam o nome de puras pavimentações regulares. Estas resumem-se a três: uma em que os ladrilhos são triângulos, outra formada com quadrados e uma teceira com hexágonos. Nestas pavimentações, cada par de ladrilho tem um lado comum e cada vértice aparece rodeado por por polígonos todos iguais.
    No caso da pavimentação por triângulos cada lado é lado de dois triângulos e cada vértice é vértice de seis triângulos (espécie 3.3.3.3.3.3) - 360/60=6. Dizemos que todos os vértices são da mesma espécie.
    No caso da pavimentação regular por quadrados cada lado de um ladrilho é lado de outro e cada vérice de um quadrado é vértice de 4 quadrados (espécie 4.4.4.4) - 360/90=4 - e todos os vértices são da mesma espécie.
    No caso da pavimentação regular por hexágonos, cada par de ladrilhos tem um lado comum e cada vértice é vértice de 3 ladrilhos (espécie 6.6.6) - 360/120=3 - e todos os vértices são da mesma espécie.
    Ao olharmos para as ilustrações destas pavimentações, vimos bem como as pavimentações regulares por triângulos e por hexágonos admitem simetrias de translação associadas a vetores que fazem um ângulo de 60º (redes isométricas) e são duais uma da outra, no sentido habitual de uma poder ser obtida da outra unindo os pontos médios dos ladrilhos. E é claro que admitem o mesmo grupo de simetrias (p6m).
    A pavimentação por ladrilhos quadrados admite simetrias de translação associadas a vetores perpendiculares (rede quadrada) é é dual de pavimentação por quadrados (p4m).
  2. Pavimentações semi-regulares
    Mereceram interesse especial outras pavimentações cujos ladrilhos são polígonos regulares, mas de diversos tipos: por exemplo, triângulos equiláteros e hexágonos regulares numa mesma pavimentação. Interessam-nos as pavimentações em que os triângulos existentes são todos iguais, bem como iguais são todos os hexágonos, havendo um só comprimento para todos os lados, e de tal modo que cada par de polígonos presentes na pavimentação tenham um lado comum. Destes interessam-nos os que têm vértices da mesma espécie.
    Apresentámos exemplos de pavimentações por triângulos e hexágonos regulares que têm todas essas propriedades: triângulos e hexágonos regulares que quando se intersectam o fazem sobre um lado comum e em que todos os vértices são da mesma espécie que tem a ver só com os polígonos regulares que nele se encontram. Mas que são diferentes.
    Apresentámos uma pavimentação em cujos vértices se encontram dois triângulos e dois hexágonos, mas que ao observarmos um vértice seguindo uma ordem circular (olhar em volta do vértice no sentido dos ponteiros do relógio, por exemplo) dizemos que é vérice de um triângulo (3), depois de um hexágono (6), a seguir de um triângulo (3) e finalmente de um hexágono (6) escrevendo que é da espécie 3.6.3.6 que esclarece ele ser diferente daquele que, seguindo uma ordem circular, nos aparece classificado como sendo vértice de um triângulo (3), de outro triângulo (3) e depois de u hexágono(6) seguido de outro hexágono(6) da espécie 3.3.6.6. Dois triãngulos e dois hexágonos a convergir num vértice dá-nos a espécie, A ordem dá-nos mais uma informação, diz-nos que eles podem ser da mesma espécie, sendo de tipos diferentes (Vértices que são do mesmo tipo são da mesma espécie, claro!)
    Estas pavimentações por polígonos regulares de classes diferentes (quadrados todos iguais, triângulos todos iguais, hexágonos todos iguais, por exemplo) com todos os vértices do mesmo tipo tomam o nome de pavimentações semi-regulares ou arquimedianas.
  3. Quantas e quais pavimentações regulares e semi-regulares?
    • A pavimentação por triângulos equiláteros é aquela em que os ângulos internos dos ladrilhos têm amplitudes iguais a 60 graus, a menor de todas as possíveis amplitudes para ângulos internos de polígonos regulares. E é portanto a pavimentação em que incidem em cada vértice o maior número de ladrilhos regulares, exactamente 6 triângulos. Todos os vértices são da espécie 3.3.3.3.3.3; todas as outras designações de espécie têm menos de 6 números e, claro, têm mais de 2 ou no mínimo 3. Para que um vértice fosse de uma espécie com 2 números, os polígonos da pavimentação teriam ângulos internos de 180 graus. Dito de outro modo, as espécies dos vértices nas pavimentações com polígonos regulares poderão ser n1.n2.n3, n1.n2.n3.n4, n1.n2.n3.n4.n5 e n1.n2.n3.n4.n5.n6
      Como se sabe, qualquer destes ni tem de ser um natural tal que ,αi=(ni-2).180/ni é no mínimo 60 e inferior a 180 e simultaneamente a soma dos produtos kii, em que ki é o número de polígonos regulares de ni lados cujos ângulos internos têm amplitudes iguais a αi , seja exactamente 360 (volta completa em torno de um vértice).
    • As soluções destas condições (ou as espécies possíveis, aritmeticamente falando) serão:


      n11) n22) n33) n44) n55) n66) Σkii espécie
      3 (60) 3 (60) 3 (60) 3 (60) 3 (60) 3 (60) 6×60 3.3.3.3.3.3
      3 (60) 3 (60) 3 (60) 3 (60) 6 (120) 4×60 +1×120 3.3.3.3.6
      3 (60) 3 (60) 3 (60) 4 (90) 4 (90) 3×60+2×90 3.3.3.4.4 ou 3.3.4.3.4
      3 (60) 3 (60) 4 (90) 12 (150) 2×60+1×90+1×150 3.3.4.12 ou 3.4.3.12
      3 (60) 3 (60) 6 (120) 6 (120) 2×60+2×120+ 3.3.6.6 ou 3.6.3.6
      3 (60) 4 (90) 4 (90) 6 (120) 2×60+2×90+1× 120 3.4.4.6 ou 3.4.6.4
      4 (90) 4 (90) 4 (90) 4(90) 4×90 4.4.4.4
      3 (60) 7 (5×180/7) 42 (40×180/42) 1×60+(5×180/7)+ 40×180/42) 3.7.42
      3 (60) 9 (140) 18 (160) 1×140+ 1×160 3.9.18
      3 (60) 12 (150) 12 (150) 1×60+ 2×150 3.12.12
      4 (90) 6 (120) 12 (150) 1×90+ 1×120+1×150 4.6.12
      5 (108) 5 (108) 10 (144) 2×108+ 1×144 5.5.10
      3 (60) 8 (135) 24 (165) 1×60+ 1×135+1×165 3.8.24
      3 (60) 10 (144) 15 (156) 1×60+ 1×144+1×156 3.10.15
      4 (90) 5 (108) 20 (162) 1×90+ 1×108+1×162 4.5.20
      4 (90) 8 (135) 8 (135) 1×90+ 2×135 4.8.8
      6 (120) 6 (120) 6 (120) 3×120 6.6.6
    • Será que todas estas soluções aritméticas das condições enunciadas dão pavimentações regulares ou semi-regulares?
      • Sem dúvida que as soluções 3.3.3.3.3.3, 4.4.4.4 e 6.6.6 correspondem às únicas pavimentações regulares.
      • Mas nem todas as outras soluções aritméticas correspondem a pavimentações semi-regulares.
        Tomemos uma pavimentação por polígonos regulares dos quais um seja um triângulo e suponhamos que um dos seus vértices é da espécie (3.n1.n2). Assim cada um dos três lados do triângulo, além de ser lado do triângulo um deles será lado de um n1-gono e outro de um n2-gono. Para que esse triângulo faça parte de uma pavimentação semi-regular é preciso que todos os vértices sejam da espécie (3.n1.n2). Em volta, pelos lados: um primeiro lado seria lado do n1-gono e o segundo seria lado do n2-gono. O terceiro lado teria de ser lado do n1-gono para que o 2º vértice fosse da mesma espécie do ângulo definido pelos primeiros lados considerados. Mas então o terceiro vértice seria da espécie (3.n1.n1) que só pode ser a mesma dos outros dois se n1=n2. Por esta razão, não há pavimentação semi-regulares com vértices da espécie (3.7.42), (3.9.18), (3.8.24) e (3.10.15). O mesmo raciocínio aplica-se para todos os polígonos de número ímpar de lados. Não há pois pavimentações semi-regulares com vértices das espécies (5.5.10) e (4.5.20).
      • As soluções aritméticas do tipo (3.n1.n2.n3) serão todas pavimentações semi-regulares possíveis? Se os vértice A e B do triângulo ABC forem do tipo (3.n1.n2.n3), o vértice C seria vértice de dois n1-gonos ou de dois n3-gonos. E isso é impossível com vértices dos tipos (3.3.4.12), (3.4.3.12), (3.3.6.6) ou (3.4.4.6).
      • Daquelas soluções aritméticas sobram 3 como pavimentações regulares e 8 semi-regulares : 11 assinaladas (a negrito) no quadro geral.

4.1.12

Pavimentações do plano com ladrilhos regulares: quadrados e octógonos, com vértices da mesma espécie

Nesta entrada, apresentamos pavimentações com ladrilhos regulares: quadrangulares e octangulares, sendo os vértices da espécie 4.8.8 ou, dito de outro modo, cada vértice é comum a um quadrado e a dois octógonos (1x90+2x135=360)






Deslocando os pontos a verde, em cada figura dinâmica, pode mudar o tamanho dos ladrilhos.

3.1.12

Pavimentações do plano com triângulos quadrados e hexágonos regulares e vértices todos da mesma espécie

Nesta entrada, apresentamos pavimentações com ladrilhos regulares, ambas com ladrilhos triangulares, quadrangulares e hexagonais. Cada vértice é vértice de um triângulo, de dois quadrado e de um hexágono (1x60+2x90+1x120=360). Da primeira, todos os vértices são da mesma espécie e, vistos por uma determinada ordem circular, os polígonos aparecem sempre 3.4.6.4 (são do mesmo tipo). Da segunda, todos os vértices são da mesma espécie, mas, vistos por uma determinada ordem circular, uns são 3.4.4.6 e outros 3.4.6.4. Neste caso, todos os vértices são da mesma espécie, não sendo do mesmo tipo.






Deslocando os pontos a verde, em cada figura dinâmica, pode mudar o tamanho dos ladrilhos.

2.1.12

Pavimentações do plano com triângulos, quadrados, hexágonos e dodecágonos com vértice da mesma espécie

Nesta entrada, apresentamos pavimentações de ladrilhos regulares, uma com ladrilhos triangulares e dodecagonais e outra com ladrilhos quadrangulares, hexagonais e dodecagonais regulares e em que dois ladrilhos ou não se intersetam ou quando se intersetam o fazem num vértice comum ou num lado comum. Na primeira das pavimentações, cada vértice é vértice de um triângulo e de dois dodecágonos (1x60+2x150=360) ou seja todos os vértices são da espécie 3.12.12. Na segunda, todos os vértices são da espécie 4.6.12, o que quer dizer que, ligados a cada vértice há um quadrado, um hexágono e um dodecágono(1x90+1x120+1x150 =360).






Deslocando os pontos a verde, em cada figura dinâmica, pode mudar o tamanho dos ladrilhos.

1.1.12

Pavimentações do plano por triângulos e quadrados com vértices da mesma espécie

Apresentamos, nesta entrada, pavimentações com ladrilhos regulares com ladrilhos triangulares e quadrilaterais regulares e em que dois ladrilhos ou não se intersetam ou quando se intersetam o fazem num vértice comum ou num lado comum. Nestas pavimentações, cada vértice é vértice de três triângulos e de dois quadrados (3x60+2x90=360). Na primeira, todos os vértices são da espécie 3.3.3.4.4. Distingue-se a segunda da primeira, vendo que todos os vértices são da espécie 3.3.4.3.4, o que se pode perceber observando as ilustrações.






Deslocando os pontos a verde, em cada figura dinâmica, pode mudar o tamanho dos ladrilhos.

Pavimentações do plano por triângulos e hexágonos regulares com vértices da mesma espécie

Apresentamos, nesta entrada, pavimentações com ladrilhos regulares, triangulares e hexágonos e em que dois ladrilhos ou não se intersetam ou quando se intersetam o fazem num vértice comum ou num lado comum. Na primeira destas pavimentações, cada vértice é vértice de dois triângulos e de dois hexágonos, e é por isso que dizemos que todos os vértices são da mesma espécie 3.6.3.6 (2x60+2x120=360). Na segunda, cada vértice é vértice de 4 triângulos e 1 hexágono, sendo todos os vértices da mesma espécie 3.3.3.3.6 (4x60+1x120=360).






Deslocando os pontos a verde, em cada figura dinâmica, pode mudar o tamanho dos ladrilhos.

28.12.11

Pavimentações do plano por polígonos regulares (triângulos e hexágonos)

Apresentamos, nesta entrada, pavimentações com ladrilhos regulares: triângulos e hexágonos e em que dois ladrilhos ou não se intersetam ou quando se intersetam o fazem num vértice comum ou num lado comum. Na primeira destas pavimentações, há vértices rodeados por dois triângulos e de dois hexágonos (2x60+2x120=360) e vértices rodeados por 3 hexágonos (3x120=360). Na segunda, cada um dos vértices está rodeado por dois triângulos e dois hexágonos (2x60+2x120=360).
Ter vértices da mesma espécie é uma propriedade de que gozam infinitas pavimentações e é mantida sempre que o padrão é obtido por translações, aplicadas a um friso, associadas a um dado vetor independente daquele que está associado ao friso.






Deslocando os pontos a verde, em cada figura dinâmica, pode mudar o tamanho e a orientação dos ladrilhos.

Pavimentações do plano por polígonos regulares sem lados comuns

Apresentámos inicialmente pavimentações regulares com um só tipo de ladrilho poligonal e em que dois ladrilhos ou não se intersetam ou quando se intersetam o fazem num vértice comum ou num lado comum.
Apresentamos, nesta entrada, pavimentações em que os ladrilhos são polígonos regulares mas em que acontece não haver dois com lados comuns. No caso, geradas usando meias voltas, uma com triângulos equiláteros e hexágonos regulares (pgg) e outra com 2 quadrados diferentes(p4g)






Deslocando os pontos a verde, em cada figura dinâmica, pode mudar o tamanho e a orientação dos ladrilhos.

2014
EUCLIDES
Instrumentos e métodos

de resolução de problemas de construção