Pavimentações do plano por polígonos regulares (triângulos e hexágonos)

Apresentamos, nesta entrada, pavimentações com ladrilhos regulares: triângulos e hexágonos e em que dois ladrilhos ou não se intersetam ou quando se intersetam o fazem num vértice comum ou num lado comum. Na primeira destas pavimentações, há vértices rodeados por dois triângulos e de dois hexágonos (2x60+2x120=360) e vértices rodeados por 3 hexágonos (3x120=360). Na segunda, cada um dos vértices está rodeado por dois triângulos e dois hexágonos (2x60+2x120=360).
Ter vértices da mesma espécie é uma propriedade de que gozam infinitas pavimentações e é mantida sempre que o padrão é obtido por translações, aplicadas a um friso, associadas a um dado vetor independente daquele que está associado ao friso.


Deslocando os pontos a verde, em cada figura dinâmica, pode mudar o tamanho e a orientação dos ladrilhos.

Pavimentações do plano por polígonos regulares sem lados comuns

Apresentámos inicialmente pavimentações regulares com um só tipo de ladrilho poligonal e em que dois ladrilhos ou não se intersetam ou quando se intersetam o fazem num vértice comum ou num lado comum.
Apresentamos, nesta entrada, pavimentações em que os ladrilhos são polígonos regulares mas em que acontece não haver dois com lados comuns. No caso, geradas usando meias voltas, uma com triângulos equiláteros e hexágonos regulares (pgg) e outra com 2 quadrados diferentes(p4g)


Deslocando os pontos a verde, em cada figura dinâmica, pode mudar o tamanho e a orientação dos ladrilhos.

o geometrias está a entrar no oitavo ano...

... de grandes festas. BOAS FESTAS.

Pavimentações do plano por polígonos irregulares

De entre as pavimentações apresentados em entradas anteriores, encontram-se vários exemplos de pavimentações, com um só tipo de ladrilhos, uns côncavos outros convexos. De entre estes últimos, destacamos os retângulos que pavimentam. Pavimentações como essa de ladrilhos retangulares tomam o nome de pavimentações irregulares.

Qualquer triângulo pavimenta o plano. E também um quadrilátero qualquer pavimenta o plano (padrão p2) como pode ver-se. Já o hexágono irregular pavimenta se tiver um centro de simetria (de novo, padrão p2). Apresenta-se ainda um caso notável de pavimentação do plano conhecida por pavimentação "Cairo". Pentágonos equiláteros não regulares pavimentam o plano, já que quatro desses pentágonos formam um hexágono irregular com um centro de simetria.



Deslocando os pontos a verde, em cada figura dinâmica, pode mudar o tamanho e a orientação dos ladrilhos. Deslocar o ponto vermelho permite verificar a simetria de meia volta da pavimentação por hexágonos irregulares.

Pavimentações regulares de polígono regulares iguais

De entre as pavimentações apresentados nas entradas precedentes, encontram-se vários exemplos de pavimentações (com um só tipo de ladrilhos) de entre os quais destacamos os quadrados (p4m) que pavimentam. Pavimentações como essa de ladrilhos quadrados tomam o nome de pavimentações regulares em que cada vértice é vértice de 4 ângulos retos (4x90=360) ou de 4 quadrados (todos os vértices são da mesma espécie 4.4.4.4).
Nestas pavimentações, podemos chamar vértices da pavimentação aos vértices dos ladrilhos.
Claro que um triângulo equilátero (e equiangular) pavimenta o plano. Cada vértice de um ladrilho (triangular regular) é vértice de seis ladrilhos ou vértice de 6 ângulos de 60 graus (6x60=360) ou vértice de 6 triângulos regulares (todos os vértices são da mesma espécie 3.3.3.3.3.3)
Também o hexágono regular pavimenta o plano. Cada vértice de um ladrilho hexagonal regular é vértice de 3 ângulos de 120 graus (ângulo interno do hexágono regular)(3x120=360) ou é vértice de 3 hexágonos regulares (todos os vértices são da mesma espécie 6.6.6) .
O mesmo não podemos dizer do pentágono regular que tem um ângulo interno de 72 graus e 360 não é múltiplo de 72.



Deslocando os pontos a verde, em cada figura dinâmica, pode mudar o tamanho e a orientação dos ladrilhos.

Simetrias dos padrões do plano, simetrias das pavimentações - rotações de grau 6

Apresentamos ilustrações dos grupos que admitem simetrias de rotação de grau 6 (e consequentes simetrias de rotação de grau 2 e 3).

GRAU 6

p6 Sem eixos de simetria

p6m Com eixos de simetria

Simetrias dos padrões do plano, simetrias das pavimentações - rotações de grau 3

Apresentamos ilustrações dos grupos que admitem simetrias de rotação de grau 3 apenas.

GRAU 3

p3 Sem eixos de simetria
p3m1 Todos os centros de grau 3 estão em eixos de simetria	p31m Um eixo de simetria não passa por quaisquer dos centros de grau 3

Simetrias dos padrões do plano, simetrias das pavimentações - rotações de grau 4

Apresentamos ilustrações dos grupos que só admitem simetrias de rotação de grau 4 (e consequentes simetrias de meia volta, compostas de rotações de 90º).

GRAU 4

p4 Sem eixos de simetria
p4m Um eixo de simetria passando por centros de grau 4	p4g Um eixo de simetria não passa por quaisquer dos centros de grau 4

Simetrias dos padrões do plano, simetrias das pavimentações - rotações de grau ≤ 2

Apresentamos ilustrações dos grupos que não admitem simetrias de rotação de grau superior a 2.

SÓ CENTROS DE GRAU 2

p2 Sem simetrias de reflexão ou reflexão deslizante	cmm Alguns dos centros das meias voltas não estão sobre eixos de simetria
pmm Todos dos centros das meias voltas estão sobre eixos de simetria	pmg Os eixos de simetria são todos paralelos
	pgg Não há eixos de simetria. Há simetrias de reflexão deslizante

Grupos de simetrias dos padrões do plano e simetrias das pavimentações- GRAU 1

Como podemos facilmente verificar uma parte das ilustrações dos grupos de simetrias do plano apresentadas como padrões de papel de parede ilustram diferentes pavimentações do plano (para a definição feita na entrada anterior). Para além de outras, assim acontece com as últimas ilustrações dos exercícios de identificação (tendo F como motivo mínimo), publicados recentemente. Em Martin, G. Transformation Geometry: and introduction to symmetry. Springer-Verlag, N.Y: 1982, o estudo dos grupos de simetria do plano (que antecede o estudo das pavimentações) é concluído com uma síntese da tabela classificativa dos padrões do plano, usando como ilustração de cada grupo uma pavimentação do plano.
Pensamos que, para a classificação dos 17 padrões do plano pode ser uma grande ajuda rever a tabela algorítmica acompanhada destas ilustrações. E é um bom começo para estudar pavimentações poligonais do plano. Como se sabe, estas classificações foram feitas tomando por base que um padrão do plano tem sempre no seu grupo de simetrias, translações associadas a dois vetores u e v independentes ou associadas a m.u+n.v, com m e n inteiros e as restrições no que respeita às simetrias de rotação. A rotação de grau 1, identidade - rotação de 360.k graus com k inteiro, está sempre presente em todos os padrões, mas, para além dessa,m grupos de simetria de padrões do plano, só são admissíveis rotações de grau 2 (180.k ou meias voltas), de grau 3 (120.k), de grau 4 (45.k) e as de grau 6 (60.k).

Começamos com as ilustrações dos grupos que não admitem rotações de grau superior a 1. Assim:

ROTAÇOES DE GRAU 1

p1 Sem simetrias de reflexão ou reflexão deslizante	cm Com simetrias de reflexão e reflexão deslizante (rd); alguns dos eixos de (rd) não são espelhos
pm Com simetrias de reflexão e reflexão deslizante (rd); todos eixos de (rd) são espelhos	pg Sem simetrias de reflexão, mas com simetrias de reflexão deslizante.

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Voltamos a lembrar que em todos os grupos de simetrias dos padrões dos planos há simetrias de translação...

Pavimentação com regiões poligonais

Chamamos região poligonal(referida como polígono) a uma região contendo a sua própria fronteira, sendo esta uma linha poligonal fechada ou conjunto de segmentos de reta em que cada um dos extremos de um dos seus segmentos é extremo de outro segmento do conjunto. Dizemos que um conjunto P de polígonos {P_n: n ∈N} é uma pavimentação do plano quando, para cada ponto do plano existe pelo menos um polígono de P que o contém e, no caso de um ponto pertencer a mais que um polígono, está sobre a fronteira comum aos polígonos que o contêm. Dito de outro modo, a reunião dos polígonos de P é o plano e são vazias as interseções de interiores de polígonos de P. Chamamos interior de um polígono P_n ao conjunto dos seus pontos que não estão na fronteira.


As próximas publicações tratam de pavimentações poligonais. Natural é que, numa pavimentação, chamemos ladrilhos aos polígonos que a compõem e que as classificações (e a terminologia) associadas aos polígonos sejam usadas no estudo das pavimentações.

Exercícios de identificação (11)

(exercícios propostos em Martin, G. Transformation Geometry: and introduction to symmetry. Springer-Verlag, N.Y: 1982)
Pensamos ter resolvido bem estes exercícios, mas, ... quem sabe?

Exercícios de identificação (10)

(exercícios propostos em Martin, G. Transformation Geometry: and introduction to symmetry. Springer-Verlag, N.Y: 1982)