8.6.10

Teorema de Pitágoras e retângulos semelhantes sobre os lados do triângulo

Sobre os lados do triângulo [ABC], retângulo em A,construímos três retângulos semelhantes. Verifica-se que o retângulo desenhado sobre a hipotenusa tem área igual à soma das áreas dos retângulos desenhados sobre os catetos. Este resultado é verificado para todos as figuras semelhantes construídas sobre os lados do triângulo retângulo.
Clicando sobre o botão Pappus? verifica-se a condição suficiente de Pappus (da entrada anterior).
Os pontos a verde A,B,C e D podem deslocar-se, fazendo variar o triângulo ABC e variar os retângulos para cada triângulo.



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3.6.10

Generalização do Teorema de Pitágoras com demonstração à vista desarmada

No seu livro"Mirar y Ver. Nivola. Tres Cantos:2004" Guzmán dá grande importância à capacidade de olhar de modos diferentes e de perspectivas diferentes para as figuras, decompostas de modos diferentes e comparando áreas. Não se trata de um processo para conjecturar, mas mais do que isso: saber olhar, pode ser saber demonstrar. A escrita pode reduzir-se à descrição do que se viu, ou seja, a demonstração esteve na construção e no olhar, na construção do olhar.

Um dos resultados, apresentado como exemplo, é muito potente. É uma generalização do Teorema de Pitágoras (atribuída a Pappus) de que pouco se fala. Trabalha com figuras decompostas em figuras equivalentes de vários modos que é o que fazemos com o Teorema de Pitágoras. Só que este resultado se aplica a qualquer triângulo e o T. de Pitágoras aparece como um caso particular para os triângulos rectângulos.


Considere-se um triângulo ABC, qualquer. Sobre dois dos seus lados, construam-se dois paralelogramos - [AA1B1B], q na figura - e [AA2C2C], r. Os pontos a verde A,B, C, B1 e C2 são livres. Pode movê-los livremente.
O interessante é que, para cada par (q, r) de paralelogramos sobre os lados de um dos lados AC e AB de um triângulo qualquer, há um terceiro paralelogramo sobre BC que tem área igual à soma das áreas de q e r.
Que paralelogramo é esse?
Basta clicar no botão Construir? para acompanhar a construção de um tal terceiro paralelogramo.





Se clicou em Construir?, pode ver as dependências e mesmo adivinhar o que é preciso fazer e por que ordem para determinar o paralelogramo [CC3B3B] que tem área igual a q+r.

Preciso é determinar o ponto P, intersecção das rectas A1B1 e A2C2. E o paralelogramo [CC3B3B] é tal que A1B3= PA, sendo A1B3 e PA paralelos.

Clicar sobre o botão Demonstrar? confirmará, vendo, que o paralelogramo [BSPA] é obviamente equivalente a [BB3RQ] já que BB3=RQ=BS=PA e a altura relativa a RQ e PA é a distância entre duas mesmas paralelas. E é claro que q é equivalente a [BSPA].
Do mesmo modo, r é equivalente a [ACTP] e a [QRC3C].

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31.5.10

Outra demonstração do Teorema de Pitágoras,...

...usando decomposições diferentes de uma mesma figura.
Passo a passo, pela ordem, clicando nos quadradinhos:


(vista em "Guzmán. Mirar y Ver. Nivola. Tres Cantos:2004")

25.5.10

Outra demonstração do Teorema de Pitágoras







18.5.10

Teorema de Pitágoras - outra demonstração

A anterior entrada- demonstração do teorema de Pitágoras - sugeria uma demonstração usando transformações de figuras em figuras equivalentes.
Na construção que se segue, pretendemos provar que a área do quadrado [ABHG], c2, é igual à soma das áreas dos quadrados [BCML], a2, e [AJIC], b2. Para isso, decompomos o quadrado em dois rectângulos, cada um deles equivalente a cada um dos quadrados.


17.5.10

A altura que divide a hipotenusa e o Teorema de Pitágoras




No 8º ano de escolaridade, a demonstração a fazer é a do Teorema de Pitágoras. Há muitas demonstrações, usando composição e decomposição de figuras, equivalência de figuras, álgebra,...
Uma das demonstrações é a que utiliza semelhança de triângulos e a divisão da hipotenusa pela altura respectiva e que pode ser retomada de muitos modos, sendo interessante seguir as transformações de cada quadrado (sobre cada cateto) em figuras equivalente até ser o rectângulo correspondente como parte do quadrado (sobre a hipotenusa).


10.5.10

Triângulo retângulo de lados em progressão geométrica

Na construção que se segue, tomámos AB=c, variável, e construímos o triângulo tomando para lados AC=b=c.√Φ e BC=a=c/√Φ.
O triângulo assim obtido é um triângulo retângulo em B.




Esta família de triângulos retângulos é a única de lados em progressão geométrica.
De facto,
Sendo ABC um triângulo retângulo cujos lados meçam c/r, c, c.r (progressão geométrica de razão r), temos:
(c/r)2 + c2 = (cr)2 ou (r2)2 - r2 - 1 = 0.
Ora a raiz positiva desta equação do 2º grau em r2 é (1 + √5)/2, ou seja, o número de ouro.
Concluíndo: se num triângulo retângulo os lados estão em progressão geométrica, o quadrado da razão da progressão é "o número de ouro".

2014
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