11.1.10

Usando homotetias para aceitar a recta de Euler

Seja o triângulo ABC, de baricentro G, ortocentro H e circuncentro O. Prova-se que
G, H e O são colineares (estão sobre uma mesma recta - recta de Euler) e |GH|=2|GO|.

Este resultado, muito conhecido e muito usado, pode ser provado com recurso a homotetias.
A homotetia de centro em G e razão 2 transforma o triângulo ABC no triângulo A'B'C'. (A, G A' são colineares e |A'G|=2|AG|, ... AB//A'B' e 2|AB|=|A'B'|, ...). O circuncírculo de A'B'C' tem centro em H ( já que a recta da altura de ABC relativa ao vértice A é a mediatriz de B'C', ...). Aquela homotetia de centro em G e razão 2 transforma o círculo de centro em O que passa por ABC no círculo de centro em H que passa por A'B'C', transforma O em H. Por isso H,G e O são colineares e |GH|=2|GO|.



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