A não perder:
EDUARDO VELOSO, Uma curva de cada vez..
O caracol de Pascal,
Educação e Matemática, revista da A.P.M, nº 138: 2016
História da Matemática, Curvas, Ferramentas, Tecnologia: para estudar e construir.

10.3.09

Hexágono e círculo de Lemoine

No triângulo ABC, determinemos o ponto de Lemoine Le. Por Le tracemos paralelas aos lados do triângulo: os seis pontos de intersecção com o círculo de Brocard definem o hexágono de Lemoine. Existe um círculo circunscrito ao hexágono: é o círculo de Lemoine t de centro T.
Verifica-se que o ponto T é o ponto médio do segmento OLe; coincide, portanto, com o centro do círculo de Brocard.
O eixo radical de circuncírculo e do círculo de Lemoine é a recta de Pascal do hexágono de Lemoine.


Polar trilinear do ponto de Tarry e recta de Euler

A polar trilinear do ponto de Tarry e a recta de Euler são perpendiculares e intersectam-se num ponto da circunferência de Brocard.



Ponto de Steiner, ponto de Tarry e recta de Brocard

Tomemos os pontos de Steiner, de Tarry e as intersecções da recta de Brocard (definida por O e Le) com o circuncírculo. Estes quatro pontos definem um rectângulo inscrito no circuncírculo. Os lados do rectângulo são paralelos aos eixos das elipses de Steiner.


Polar do baricentro em relação ao círculo de Brocard

A polar do baricentro G em relação ao círculo de Brocard contém o ponto de Steiner.


Ponto de Tarry e recta de Lemoine

A recta de Simson do ponto de Tarry é paralela à recta de Lemoine.



6.3.09

Triângulo de Neuberg

O “triângulo de Neuberg” tem como vértices os centros dos círculos de Neuberg. O triângulo ABC e o triângulo de Neuberg estão em perspectiva, com o centro de perspectiva no ponto de Tarry.


3.3.09

Eixo radical dos circuncírculo e círculo de Brocard

Exercício interactivo


Determine o eixo radical do circuncírculo e do círculo de Brocard do triângulo [ABC], conhecidos o circuncírculo, o círculo de Brocard, o ponto e a recta de Lemoine.



2.3.09

Ponto de Tarry de um triângulo de Brocard



23.2.09

Eixos das elipses de Steiner

As elipses de Steiner têm eixos sobre as mesmas rectas. A recta do eixo secundário (menor) é bissectriz comum aos ângulos LeGSt e OGTy.



19.2.09

Ponto de Tarry

No triângulo ABC , consideremos o diâmetro do circuncírculo que contem o ponto St de Steiner. O outro extremo do diâmetro é o chamado “ponto de Tarry”.



No triângulo ABC , desenhemos a cevianas referentes ao ponto Ty de Tarry. Cada círculo de Neuberg passa por um vértice e tem centro na intersecção da ceviana que passa por esse vértice com a mediariz do lado definido pelos outros dois vértices.


17.2.09

Sobre as elipses de Steiner

A elipse de Steiner circunscrita ao triângulo ABC é a elipse circunscrita de área mínima. Também chamamos elipse de Steiner inscrita à elipse inscrita de área máxima. Ambas são centradas em G e os pontos de tangência da elipse inscrita são os pontos médios dos lados do triângulo.



Ponto de Steiner e recta de Euler

Sejam P e Q os pontos em que a recta de Euler do triângulo ABC intersecta o circuncírculo; H é o ortocentro e Re o retrocentro (conjugado isotómico de H); St é o ponto de Steiner. As três rectas StP, StQ, HRe formam um triângulo rectângulo com o ângulo recto em St.
A elipse circunscrita ao triângulo ABC contém também os vértices do triângulo StMN.
É a chamada "elipse circunscrita de Steiner". Note-se que os simétricos A', B', C' respectivamente de A, B, C são também pontos da elipse; ou seja, o centro da elipse é o baricentro G. De entre as elipses circunscritas, esta goza da propriedade de ter a área mínima.


2014
EUCLIDES
Instrumentos e métodos

de resolução de problemas de construção