6.3.09

Triângulo de Neuberg

O “triângulo de Neuberg” tem como vértices os centros dos círculos de Neuberg. O triângulo ABC e o triângulo de Neuberg estão em perspectiva, com o centro de perspectiva no ponto de Tarry.


3.3.09

Eixo radical dos circuncírculo e círculo de Brocard

Exercício interactivo


Determine o eixo radical do circuncírculo e do círculo de Brocard do triângulo [ABC], conhecidos o circuncírculo, o círculo de Brocard, o ponto e a recta de Lemoine.



2.3.09

Ponto de Tarry de um triângulo de Brocard



23.2.09

Eixos das elipses de Steiner

As elipses de Steiner têm eixos sobre as mesmas rectas. A recta do eixo secundário (menor) é bissectriz comum aos ângulos LeGSt e OGTy.



19.2.09

Ponto de Tarry

No triângulo ABC , consideremos o diâmetro do circuncírculo que contem o ponto St de Steiner. O outro extremo do diâmetro é o chamado “ponto de Tarry”.



No triângulo ABC , desenhemos a cevianas referentes ao ponto Ty de Tarry. Cada círculo de Neuberg passa por um vértice e tem centro na intersecção da ceviana que passa por esse vértice com a mediariz do lado definido pelos outros dois vértices.


17.2.09

Sobre as elipses de Steiner

A elipse de Steiner circunscrita ao triângulo ABC é a elipse circunscrita de área mínima. Também chamamos elipse de Steiner inscrita à elipse inscrita de área máxima. Ambas são centradas em G e os pontos de tangência da elipse inscrita são os pontos médios dos lados do triângulo.



Ponto de Steiner e recta de Euler

Sejam P e Q os pontos em que a recta de Euler do triângulo ABC intersecta o circuncírculo; H é o ortocentro e Re o retrocentro (conjugado isotómico de H); St é o ponto de Steiner. As três rectas StP, StQ, HRe formam um triângulo rectângulo com o ângulo recto em St.
A elipse circunscrita ao triângulo ABC contém também os vértices do triângulo StMN.
É a chamada "elipse circunscrita de Steiner". Note-se que os simétricos A', B', C' respectivamente de A, B, C são também pontos da elipse; ou seja, o centro da elipse é o baricentro G. De entre as elipses circunscritas, esta goza da propriedade de ter a área mínima.


12.2.09

A recta de Simson a partir do ponto de Steiner

No triângulo ABC tomemos o ponto St e tracemos a sua recta de Simson (definida pelas projecções de de St sobre os lados do triângulo). Determinemos os pontos Br1 e Br2 de Brocard e a recta por eles definida. Verifica-se que as rectas são perpendiculares. Logo a recta de Simson de St e a recta de Brocard (definida por O e Le) são paralelas.


10.2.09

Ponto de Steiner e Recta de Lemoine

No triângulo ABC tomemos o ponto Le de Lemoine e determinemos a sua polar trilinear rLe (a verde cheio). Traçando as três isogonais da recta de Lemoine (uma por vértice do triângulo) verifica-se que elas se intersectam no ponto de Steiner que é o mesmo que dizer que o ponto isogonal do ponto do infinito da recta de Lemoine é o ponto de Steiner.
Traçando uma paralela (a verde tracejado) à recta de Lemoine por qualquer um dos vértices – seja, por exemplo, o vértice A - a sua isogonal -simétrica dessa paralela em relação à bissectriz (amarelo tracejado) - é uma recta (a verde tracejado) que passa pelo ponto St de Steiner.



2014
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