Geometria Euclidiana

Até agora, temos andado a ver alguns definições e resultados e a resolver alguns problemas de geometria métrica. Como vimos o conjunto dos deslocamentos do plano (translações, rotações, reflexões e reflexões deslizantes) munidos do produto (composição de transformações) constitui um grupo a que chamámos o grupos principal da geometria métrica que se pode definir como o conjunto das propriedades das figuras que não são alteradas quando se submetem a translações, rotações e reflexões.

No entanto, a Geometria Euclidiana não se limita às propriedades das figuras congruentes (iguais por sobreposição), também estuda as propriedades das figuras semelhantes.

Por isso, o grupo principal da geometria euclidiana contém o grupo principal da geometria métrica e uma nova transformação geométrica a que chamamos homotetia de centro O e razão k que faz corresponder a cada ponto M do plano um ponto M’ situado sobre a recta OM e tal que OM’=k.OM. Esta definição de homotetia é comum ao plano e ao espaço.

Dois triângulos são semelhantes se tiverem os ângulos iguais cada um a cada um e a razão entre os lados opostos aos ângulos iguais for constante.
Vejamos como transformar (geometricamente) um triângulo noutro semelhante. Clicando duas vezes sobre a área de trabalho fica a trabalhar com todas as ferramentas do GeoGebra e pode procurar os deslocamentos e a homotetia que levam de A'B'C' para ABC. Ou pode ver, usando os botões apropriados pela ordem indicada, as nossas propostas.





Tomámos dois triângulos semelhantes [ABC] e (A'B'C', sendo os ângulos A, B e C respectivamente iguais aos ângulos A', B' C'. Por meio de deslocamentos do plano , podemos levar de [A'B'C'] a uma nova posição [A''B''C''] tal que A' venha coincidir com A, B' com um ponto B'' da recta AB e C' com um ponto C'' da recta AC. Os triângulos [ABC] e [AB''C''] são semelhantes e os lados BC e B''C'' são paralelos. AB''/AB=AC''/AC=k. Podemos passar do triângulo AB''C'' para o triângulo [ABC] fazendo corresponder a cada ponto M'' do plano um ponto M situado sobre a recta AM'' e tal que AM''=k.AM que transforma B'' em B e C'' em C.

O conjunto dos deslocamentos (isometrias) e das homotetias do espaço constituem o grupo das semelhanças do espaço que é o grupo principal para a geometria euclidiana do plano (imediatamente generalizada ao espaço). A geometria euclidiana consiste no estudo das propriedades das figuras que ficam invariantes relativamente às transformações deste grupo.

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(seguindo Lucien Godeaux, As Geometrias, (Que sais je? PUF para a Col Saber da PEA com trad. de Silva Paulo)