23.6.08

Teorema de Napoleão

Se tomarmos triângulos equiláteros sobre os lados de um triângulo qualquer, os centros desses triângulos equiláteros são vértices de um triângulo equilátero.

Na construção dinâmica que se segue, construíram-se triângulos equiláteros [BCD], [ACE] e [ABF]. O triângulo [GHI] é equilátero.
Do mesmo modo, é equilátero o triângulo [XYZ] em que X é o centro de [BCT], Y é o centro [ACU] e Z é o centro de [ABV]-





Pode movimentar A, B ou C e ver como a propriedade persiste. Tem interesse ver o que acontece quando A, B e C ficam alinhados ou quando dois destes pontos coincidem.

11.6.08

A animação das tangentes à parábola

Publicámos recentemente dois artigos Tangentes a cónicas - caso da elipse e da hipérbole e Tangentes a cónicas - caso da parábola em que procurávamos dar conta dos esforços da Mariana Sacchetti para mostrar como o processo da determinação das tangentes tiradas por um ponto P à circunferência passa para a determinação das tangentes às outras cónicas. Se animação para os casos das tangentes à elipse e à hipérbole tinham sido conseguidas, já o mesmo não podíamos dizer do caso da parábola.
Esta falta de animação com a parábola é suprida pela publicação da animação apresentada pela Mariana. Aqui fica ela.




Veja-se que, num momento inicial, há uma circunferência (a verde) de centro F1 =O =F2 e raio |OV| e estão traçadas as tangentes à circunferência tiradas por P, que passam por P e pela intersecção da circunferência inicial com a circunferência de diâmetro |PF1| =|OP|, no momento inicial. Depois pode ver-se como O e F2 se vão deslocando, enquanto F1 se mantém fixo. Quando F2 se desloca para o infinito, também o centro O se desloca para infinito por ser o ponto médio de [F1F2] e a circunferência centrada em O e raio |OV| tende para ser a tangente à parábola no seu vértice. Assim, temos a construção conhecida: as tangentes à parábola tiradas por P passam pela intersecção desta recta em que o círculo principal se transforma com a circunferência de diâmetro [PF1].
Já agora, podemos ver também como a circunferência (a azul) de centro em F2 e raio 2.|OV| tende para a directriz à medida que F2 tende para infinito. Esta circunferência corresponde ao círculo director ou focal da elipse e da hipérbole.

10.6.08

o terceiro vértice

Triângulos isósceles com um vértice fixo e outro a variar sobre uma recta, têm o terceiro vértice sobre uma parábola (de foco no vértice fixo e directriz na recta onde desliza o segundo). Como é óbvio. Publicamos a animação.



a área que não muda

Com a devida vénia, aqui publicampliamos o desafio geométrico do José Paulo Viana (Público do último domingo).



Parece que o Eduardo tem razão. (A caricatura da Cristina também:-) Como podem ver, apoiados na construção dinâmica que se segue e em que pode variar A ou D fazendo variar a inclinação dos lados não paralelos. O triângulo amarelo tem área 8, constante, 1/4 do trapézio. Porque será?


4.6.08

as parábolas que sabemos fazer




pontos, somas e diferenças de distâncias invariantes: parábolas



um ponto livre num cateto de esquadro que pode deslizar guiado pelo outro cateto numa régua.

e um fio do tamanho do cateto
- que passe pelo ponto que se move quando o esquadro se move roçando a régua -
atado no vértice do cateto e num outro qualquer ponto fixo em parede ou papel

assim sendo o ponto uma ponta de lápis nessa prisão de cateto e fio sempre esticado pela mão que segura o lápis


assim o esquadro siga direito, o lápis traça uma parábola.





1.6.08

Centros de circunferências que desenham...

As circunferências tangentes a uma recta que passam por um ponto fixo têm centro sobre uma parábola.


Tangentes a cónicas - caso da parábola

Determinar a tangente a uma parábola tirada por um ponto P.

Para a elipse, tomámos duas circunferências, uma de diâmetro |PF1| e outra centrada no centro da elipse com diâmetro igual ao eixo maior. As tangentes tiradas por P passam pelos pontos de intersecção destas duas circunferências.

Para obter as tangentes à parábola, podemos considerar uma circunferência de diâmetro |PF|. Como o centro da parábola é um ponto impróprio, a circunferência que na elipse estava centrada no centro e a passar pelos vértices do eixo maior é agora a perpendicular ao eixo no vértice.

Pode deslocar o ponto P para verificar a consistência deste processo de determinar tangentes a uma parábola.



29.5.08

Tangentes a cónicas - casos da elipse e da hipérbole

Em anteriores artigos, abordámos a determinação de tangentes a cónicas segundo diferentes perspectivas. A Mariana tem andado a preparar (e preparou) uma animação que permita ver como é que podemos generalizar para a elipse e para a hipérbole o procedimento utilizado para tirar por um ponto P uma tangente a uma circunferência. Nesta animação, a a Mariana utiliza várias das iniciativas anteriores - determinação de cónicas como envolvente de famílias de rectas obtidas a partir de uma circunferência, tangente a uma circunferência, etc. Falta ainda completar esta unificação, apresentando a determinação da tangente a uma parábola.


2014
EUCLIDES
Instrumentos e métodos

de resolução de problemas de construção