10.6.08

o terceiro vértice

Triângulos isósceles com um vértice fixo e outro a variar sobre uma recta, têm o terceiro vértice sobre uma parábola (de foco no vértice fixo e directriz na recta onde desliza o segundo). Como é óbvio. Publicamos a animação.



a área que não muda

Com a devida vénia, aqui publicampliamos o desafio geométrico do José Paulo Viana (Público do último domingo).



Parece que o Eduardo tem razão. (A caricatura da Cristina também:-) Como podem ver, apoiados na construção dinâmica que se segue e em que pode variar A ou D fazendo variar a inclinação dos lados não paralelos. O triângulo amarelo tem área 8, constante, 1/4 do trapézio. Porque será?


4.6.08

as parábolas que sabemos fazer




pontos, somas e diferenças de distâncias invariantes: parábolas



um ponto livre num cateto de esquadro que pode deslizar guiado pelo outro cateto numa régua.

e um fio do tamanho do cateto
- que passe pelo ponto que se move quando o esquadro se move roçando a régua -
atado no vértice do cateto e num outro qualquer ponto fixo em parede ou papel

assim sendo o ponto uma ponta de lápis nessa prisão de cateto e fio sempre esticado pela mão que segura o lápis


assim o esquadro siga direito, o lápis traça uma parábola.





1.6.08

Centros de circunferências que desenham...

As circunferências tangentes a uma recta que passam por um ponto fixo têm centro sobre uma parábola.


Tangentes a cónicas - caso da parábola

Determinar a tangente a uma parábola tirada por um ponto P.

Para a elipse, tomámos duas circunferências, uma de diâmetro |PF1| e outra centrada no centro da elipse com diâmetro igual ao eixo maior. As tangentes tiradas por P passam pelos pontos de intersecção destas duas circunferências.

Para obter as tangentes à parábola, podemos considerar uma circunferência de diâmetro |PF|. Como o centro da parábola é um ponto impróprio, a circunferência que na elipse estava centrada no centro e a passar pelos vértices do eixo maior é agora a perpendicular ao eixo no vértice.

Pode deslocar o ponto P para verificar a consistência deste processo de determinar tangentes a uma parábola.



29.5.08

Tangentes a cónicas - casos da elipse e da hipérbole

Em anteriores artigos, abordámos a determinação de tangentes a cónicas segundo diferentes perspectivas. A Mariana tem andado a preparar (e preparou) uma animação que permita ver como é que podemos generalizar para a elipse e para a hipérbole o procedimento utilizado para tirar por um ponto P uma tangente a uma circunferência. Nesta animação, a a Mariana utiliza várias das iniciativas anteriores - determinação de cónicas como envolvente de famílias de rectas obtidas a partir de uma circunferência, tangente a uma circunferência, etc. Falta ainda completar esta unificação, apresentando a determinação da tangente a uma parábola.


20.5.08

Circunferência, elipse e calculadora gráfica

Quando, sem cuidados, escolhemos DRAW CIRCLE no menu principal de uma calculadora gráfica, como se pode ver nas figuras seguintes, obtemos uma elipse




Tal se deve ao facto de a calculadora assumir por defeito um rectângulo de visualização (ZOOM STANDARD) correspondente uma janela [-10;10] por [-10;10], o que significa que a escala utilizada no eixo dos YY é diferente da escala usada no eixo dos XX




Para obtermos a circunferência que queremos, devemos partir de um referencial monométrico que é o mesmo que escolher ZOOMSQUARE, em vez de ZOOMSTANDARD,




De facto, com o ZOOMSTANDARD, em vez de uma circunferência obtemos uma elipse afim



Na construção animada, a afinidade em causa tem eixo AB e transforma D em F (P em P'). [AB] mantém-se invariante e [CD] é transformado em [EF].

19.5.08

Tangentes a uma elipse tiradas por um ponto

Exercício Interactivo

Tirar por um ponto P as tangentes a uma elipse definida pelos seus eixos.



Aplicação da afinidade( II)

Aplicação da afinidade à determinação de tangentes a uma elipse


O processo é semelhante ao utilizado para a intersecção de uma recta e uma elipse:



- Toma-se um dos diâmetros conjugados, por exemplo [AB], para eixo de afinidade, desenha-se a circunferência de diâmetro [AB] e toma-se CC' para direcção de afinidade.
- Determinemos o transformado do ponto P. Unamos P com um ponto de que conheçamos a imagem, por exemplo, D; a recta PD é transformada em KD'; o ponto P' é a intersecção desta recta com uma paralela a CC' por P.
- Por P´tracemos as tangentes à circunferência; uma delas é a recta P'T'; vamos determinar o respectivo original. P' é o transformado de P; o ponto L sobre o eixo é autotransformado. Logo uma das tangentes à elipse é a recta PL. (O mesmo para a outra)
- Para obter o ponto T de tangência, determinamos o original de T', traçando uma paralela a CC'.

13.5.08

Onde é que a recta corta a elipse?

Exercício Interactivo
Determinar os pontos P e Q de intersecção de uma recta r dada com a elipse de que se mostram os eixos.



12.5.08

Aplicação da afinidade

Aplicação à determinação dos pontos de intersecção de uma recta e uma elipse definida por um par de diâmetros conjugados

Seja a elipse definida pelos diâmetros conjugados [AB] e [CD]; determinar os pontos de intersecção com a recta r (supondo que não temos a elipse traçada).





Traçámos a circunferência de diâmetro [AB] e o diâmetro perpendicular [OC'] . Definimos a afinidade de eixo AB que transforma C em C' (a direcção da afinidade é, pois, a recta CC'). Nessa afinidade:
- determinámos a imagem r' de r (L, por pertencer ao eixo, é elemento de r'; K é transformado em K');
- determinámos as intersecções P' e Q' de r' com a circunferência.
Os originais P e Q de P' e Q' são as intersecções de r e a elipse.

2014
EUCLIDES
Instrumentos e métodos

de resolução de problemas de construção