19.5.08

Tangentes a uma elipse tiradas por um ponto

Exercício Interactivo

Tirar por um ponto P as tangentes a uma elipse definida pelos seus eixos.



Aplicação da afinidade( II)

Aplicação da afinidade à determinação de tangentes a uma elipse


O processo é semelhante ao utilizado para a intersecção de uma recta e uma elipse:



- Toma-se um dos diâmetros conjugados, por exemplo [AB], para eixo de afinidade, desenha-se a circunferência de diâmetro [AB] e toma-se CC' para direcção de afinidade.
- Determinemos o transformado do ponto P. Unamos P com um ponto de que conheçamos a imagem, por exemplo, D; a recta PD é transformada em KD'; o ponto P' é a intersecção desta recta com uma paralela a CC' por P.
- Por P´tracemos as tangentes à circunferência; uma delas é a recta P'T'; vamos determinar o respectivo original. P' é o transformado de P; o ponto L sobre o eixo é autotransformado. Logo uma das tangentes à elipse é a recta PL. (O mesmo para a outra)
- Para obter o ponto T de tangência, determinamos o original de T', traçando uma paralela a CC'.

13.5.08

Onde é que a recta corta a elipse?

Exercício Interactivo
Determinar os pontos P e Q de intersecção de uma recta r dada com a elipse de que se mostram os eixos.



12.5.08

Aplicação da afinidade

Aplicação à determinação dos pontos de intersecção de uma recta e uma elipse definida por um par de diâmetros conjugados

Seja a elipse definida pelos diâmetros conjugados [AB] e [CD]; determinar os pontos de intersecção com a recta r (supondo que não temos a elipse traçada).





Traçámos a circunferência de diâmetro [AB] e o diâmetro perpendicular [OC'] . Definimos a afinidade de eixo AB que transforma C em C' (a direcção da afinidade é, pois, a recta CC'). Nessa afinidade:
- determinámos a imagem r' de r (L, por pertencer ao eixo, é elemento de r'; K é transformado em K');
- determinámos as intersecções P' e Q' de r' com a circunferência.
Os originais P e Q de P' e Q' são as intersecções de r e a elipse.

28.4.08

Eixos da elipse afim de uma circunferência

Determinar os eixos de uma elipse afim de uma dada circunferência é caso particular da construção apresentada em artigo anterior. Teremos de procurar o par de diâmetros perpendiculares da circunferência que se transforma, por afinidade, no único par de diâmetros conjugados perpendiculares da elipse afim. Para isso, basta traçar a circunferência de centro sobre o eixo de afinidade que tem o segmento [OO'] como corda - o centro é a intersecção do eixo com a mediatriz do segmento [OO'].

Exercício Interactivo

Dada uma afinidade definida pelo seu eixo e por um par de pontos homólogos O e O', determinar os eixos da elipse afim de uma dada circunferência de centro O.

24.4.08

Diâmetros conjugados e afinidade

Para obter a elipse afim de uma circunferência, podemos determinar as imagens de diâmetros perpendiculares da circunferência que se transformam em diâmetros conjugados da elipse.

Exercício Interactivo

Seja uma afinidade definida pelo seu eixo; é dada uma circunferência de centro O cuja imagem é O'. Pretende-se que determine o par de diâmetros conjugados da elipse afim da circunferência, em que o ponto A da circunferência se transforma num extremo de um desses diâmetros.



23.4.08

Transformada afim de uma circunferência

Tendo presente que na transformação afim não existe recta limite, concluimos que o transformado de uma circunferência é uma cónica sem pontos impróprios, portanto uma elipse.

Exercício Interactivo

Numa afinidade de eixo e, o transformado do ponto A da circunferência de centro O é o ponto A'. Determine a transformada da circunferência.



Pode fazer variar a circunferência. Verificará que o afim de uma circunferência, quando existe, é uma elipse.

2014
EUCLIDES
Instrumentos e métodos

de resolução de problemas de construção