12.3.08

Diâmetros conjugados e homologia

Determinação de um par de diâmetros conjugados da elipse e da hipérbole.






Como vimos, ao tratar as cónicas, o centro C' da elipse e da hipérbole é o polo da recta do infinito; logo C' é o transformado do polo C da recta limite em relação à circunferência.
Relembremos o modo de obter o polo da recta limite. A partir de um ponto L1 de l, tracemos as tangentes t1 e t2 à circunferência; a recta r definida pelos pontos de tangência, T1 e T2, intersecta l num ponto que designamos por L2; tracemos as tangentes t3 e t4 à circunferência; a recta s definida pelos pontos de tangência, T3 e T4, define a recta s. A intersecção de r e s é o polo P da recta limite. O seu transformado é o centro P' da cónica. Os transformados dos segmentos [T1T2] e [T3T4] são um par de diâmetros conjugados da cónica.

Nota: Podemos simplificar esta construção se nos lembrarmos que o pólo procurado está sobre a perpendicular à recta limite tirada pelo centro da circunferência. Não precisamos assim de determinar o segundo par de tangentes t3 e t4.

10.3.08

Homologia e circunferência

Exercício interactivo

Determinar o transformado de uma dada circunferência por uma homologia definida pelos centro O, eixo e e recta limite l.



3.3.08

Circunferência transformada em hipérbole

Exercício interactivo

Determinar a cónica que é homóloga de uma dada circunferência por uma homologia de centro O, eixo e e recta limite l em que esta intersecta a circunferência em dois pontos.





A circunferência tem dois pontos comuns com a recta limite. Dois pontos da circunferência têm homólogos impróprios; logo, o transformado da circunferência é uma hipérbole.

Homologia e circunferência

Uma homologia está definida pelo centro O, recta limite l, eixo e. Dada uma circunferência qual o seu transformado por essa homologia? O seu transformado é sempre uma cónica. Pode ser uma elipse (incluindo a circunferência), uma parábola ou uma hipérbole. E, como qualquer cónica fica univocamente definida por cinco dos seus pontos, para obter a cónica homóloga a uma circunferência precisaremos de obter, no máximo, imagens de 5 dos seus pontos.

Vejamos um processo simples de obter pares de pontos da uma cónica com base na construção indicada em 11/02/2008. Dada uma homologia definida por O, e, l, pretendemos determinar a cónica transformada da circunferência dada. Tracemos a recta r que intersecta a circunferência em A e B, a recta limite em L e o eixo em E. Unamos O e L. Por E tracemos uma paralela r' a OL. A intersecção de r' com OA é A'; a intersecção de r' com OB é B'. A corda [AB] da circunferência tem assim como homóloga a corda [A'B'] da cónica imagem.



2.3.08

Homologia sobre rectas paralelas

Exercício Interactivo

Na homologia definida pelo centro O, eixo e, recta limite l, determine as rectas homólogas das rectas paralelas r e s.


21.2.08

Homologia e triângulo com pontos na recta limmite

Exercício interactivo

Pela homologia de centro O, eixo e e recta limite l, determinar a imagem do triângulo [ABC] que é intersectado pela recta limite em J e K.



20.2.08

Homologia e rectas com ponto comum sobre a recta limite

Exercício interactivo

Na homologia definida pelo centro O, eixo e, recta limite l, determine as rectas homólogas das rectas r, e s, que se intersectam no ponto P de l.


18.2.08

Homólogo de um segmento

Exercício interactivo


Na homologia definida pelos centro O, eixo e e recta limite l, determine o homólogo do segmento [AB].



2014
EUCLIDES
Instrumentos e métodos

de resolução de problemas de construção